【分析】
拿到本题可按以下思路推导：①首先在Rt△ABC中已知AB、AC的长度，可先用勾股定理求出BC的长度；②点D是两个内角角平分线的交点，即三角形的内心，根据角平分线的性质，内心到三角形三边距离相等，因此过D作三边的垂线，可得三条垂线段相等，且结合∠B是直角可推出四边形BEDF是正方形；③已知∠MDN=45°，而∠EDF=90°，属于半角模型，可通过旋转构造全等三角形，将MN转化为两条线段的和，进而把△BMN的周长转化为BE与BF的和，最后通过面积法求出垂线段DE的长度，即可得到最终结果。
【解析】
过点D分别作$DE⊥ AB$，$DF⊥ BC$，$DG⊥ AC$，垂足分别为E，F，G，连接BD，则$∠ DEM=∠ DFN=90°$。
1. 求BC的长度
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=5$，$AC=13$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$。
2. 求DE的长度
∵AD平分$∠ BAC$，CD平分$∠ ACB$，根据角平分线的性质可得$DE=DG$，$DF=DG$，即$DE=DF=DG$。
又
∵$∠ ABC=∠ DEB=∠ DFB=90°$，
∴四边形DEBF是矩形，结合$DE=DF$可知四边形DEBF是正方形，因此$BE=BF=DE$。
根据面积关系$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}+S_{△ ACD}$，代入面积公式得：
$\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}AB· DE+\frac{1}{2}BC· DF+\frac{1}{2}AC· DG$
代入数值化简得：$5×12=(5+12+13)· DE$，解得$DE=2$，因此$BE=BF=2$。
3. 构造全等转化线段
∵$∠ EDF=90°$，$∠ MDN=45°$，
∴$∠ EDM+∠ NDF=90°-45°=45°$。
将$△ DME$绕点D按逆时针方向旋转$90°$得到$△ DHF$，则$∠ EDM=∠ FDH$，$DM=DH$，$EM=FH$，$∠ DEM=∠ DFH=90°$。
∴$∠ FDH+∠ NDF=∠ EDM+∠ NDF=45°$，即$∠ HDN=∠ MDN=45°$。
又
∵$∠ DFH+∠ DFN=90°+90°=180°$，
∴点H在边BC上。
在$△ MDN$和$△ HDN$中：
$\begin{cases} DM=DH \\ ∠ MDN=∠ HDN \\ DN=DN \end{cases}$
∴$△ MDN≌△ HDN(\mathrm{SAS})$，
∴$MN=HN$。
又$HN=FH+NF=EM+NF$，因此$MN=EM+NF$。
4. 计算$△ BMN$的周长
$C_{△ BMN}=BM+BN+MN=BM+BN+EM+NF=(BM+EM)+(BN+NF)=BE+BF=2+2=4$。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合题，解题核心是利用三角形内心的性质作辅助线构造正方形，结合半角模型通过旋转构造全等三角形实现线段转化，能够有效考查学生的辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.3

【分析】
要计算点P运动的最短时间，首先根据“时间=路程÷速度”写出总时间的表达式：$t=\frac{AE}{4}+\frac{EC}{2}$。为了求最值，将表达式变形为$t=\frac{1}{2}(EC+\frac{1}{2}AE)$，此时只需求出$EC+\frac{1}{2}AE$的最小值即可。结合等边三角形的性质，AD是BC边上的高，因此AD平分∠BAC，可得∠BAD=30°；根据含30°角的直角三角形的性质，过E作EH⊥AB于H，可得$HE=\frac{1}{2}AE$，由此将$EC+\frac{1}{2}AE$转化为$EC+EH$。根据垂线段最短，当C、E、H三点共线且CH⊥AB时，$EC+EH$取得最小值，最小值为等边△ABC中AB边上的高，而等边三角形各边上的高相等，已知AD=10，即可求出最小值，进而得到最短时间。
【解析】
过点E作$EH⊥ AB$于点H，则$∠ AHE=90°$。
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ BAC=60°$。
∵$AD⊥ BC$，AD是等边$△ ABC$的高，
∴AD平分$∠ BAC$，即$∠ HAE=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$。
在$Rt△ AHE$中，$∠ HAE=30°$，
∴$HE=\frac{1}{2}AE$。
根据题意，点P从A到C的运动时间：
$t=\frac{AE}{4}+\frac{EC}{2}=\frac{1}{2}(EC+\frac{1}{2}AE)=\frac{1}{2}(EC+HE)$。
根据垂线段最短可知：当C、E、H三点共线，且$CH⊥ AB$时，$EC+HE$取得最小值，最小值为等边$△ ABC$的边AB上的高CH的长度。
∵等边三角形三条边上的高相等，$AD=10$，
∴$CH=AD=10$。
∴最短时间$t_{\mathrm{min}}=\frac{1}{2}×10=5(\mathrm{s})$。
【答案】
5
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；垂线段最短
【点评】
本题是动点最值类问题，解题关键是通过转化思想，将不同速度对应的时间表达式转化为线段和的最值问题，结合特殊三角形的性质和垂线段最短的结论求解，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4

【分析】
首先明确新定义：$a_n$是距离$\sqrt{n}$最近的正整数，先推导$a_n=k$（$k$为正整数）时$n$的取值规律：若距离$\sqrt{n}$最近的正整数是$k$，则$|\sqrt{n}-k|＜0.5$，平方化简得$k^2 -k +0.25 ＜n ＜k^2 +k +0.25$，因$n$为正整数，故$n$的取值范围是$k^2 -k +1 ≤ n ≤ k^2 +k$，对应共有$2k$个$n$满足$a_n=k$。接下来利用这个规律逐个判断5个结论的正误，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
我们逐个分析5个结论：
1. 判断①：$\sqrt{8}\approx2.828$，与3的距离约为0.172，与2的距离约为0.828，因此距离$\sqrt{8}$最近的正整数是3，即$a_8=3$，①正确。
2. 判断②：当$a_n=3$时，代入$k=3$，$n$的取值范围是$3^2-3+1=7$到$3^2+3=12$，即$n=7,8,9,10,11,12$，共6个值，②错误。
3. 判断③：根据规律，$a_1=a_2=1$（共2个），$a_3=a_4=a_5=a_6=2$（共4个），$a_7$到$a_{12}$均为3（共6个），代入算式：
$a_1 -a_2 +a_3 -a_4 +a_5 -a_6 +a_7 -a_8 +a_9 -a_{10} +a_{11} -a_{12}$
$=1-1+2-2+2-2+3-3+3-3+3-3=0$，③正确。
4. 判断④：继续推得$a_{13}$到$a_{20}$均为4（共8个），则求和：
$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots+\frac{1}{a_{20}}=2×\frac{1}{1} +4×\frac{1}{2} +6×\frac{1}{3} +8×\frac{1}{4}=2+2+2+2=8$，④正确。
5. 判断⑤：观察规律，每组$a_n=k$对应的$\frac{1}{a_n}$的和为$2k×\frac{1}{k}=2$，若总和为100，则共有$100÷2=50$组，总$n$为每组个数之和：
$n=2+4+6+\dots+2×50=\frac{(2+100)×50}{2}=2550$，⑤正确。
综上，正确的结论为①③④⑤，共4个。
【答案】
4
【知识点】
无理数的估算，新定义运算，等差数列求和
【点评】
本题以新定义为载体，考查无理数的估算能力和规律探究能力，解题的关键是先推导得出$a_n=k$时$n$的取值规律，再结合规律逐一验证结论，侧重对逻辑推理和运算能力的考查。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题考查实数的混合运算，解题时先逐个化简每个运算项，再按运算顺序计算即可：
（1）首先判断绝对值内式子的正负：$\sqrt{5}\approx2.236＞2$，因此$|2-\sqrt{5}|$化简为$\sqrt{5}-2$；再分别计算立方根$\sqrt[3]{-64}$、算术平方根$\sqrt{(-2)^2}$，最后代入原式去括号合并同类项。
（2）先逐个化简各项：算术平方根$\sqrt{81}=9$，非零数的零次幂等于1，因此$(π-2026)^0=1$；立方根$\sqrt[3]{-125}=-5$；负指数幂等于底数的倒数，因此$(\frac{4}{3})^{-1}=\frac{3}{4}$；再判断$\sqrt{2}＜3$，因此$|\sqrt{2}-3|=3-\sqrt{2}$；先算乘法，再按顺序计算加减即可。
【解析】
(1) 先化简各项：
$\because 2＜\sqrt{5}$，$\therefore |2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2$；
$\sqrt[3]{-64}=-4$，$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$；
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{5}-(\sqrt{5}-2)+(-4)+2\\&=\sqrt{5}-\sqrt{5}+2-4+2\\&=0\end{aligned}$
(2) 先化简各项：
$\sqrt{81}=9$，$\because π-2026≠0$，$\therefore (π-2026)^0=1$；
$\sqrt[3]{-125}=-5$，$(\frac{4}{3})^{-1}=\frac{3}{4}$；
$\because \sqrt{2}＜3$，$\therefore |\sqrt{2}-3|=3-\sqrt{2}$；
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=9+1+(-5)-8×\frac{3}{4}+(3-\sqrt{2})\\&=9+1-5-6+3-\sqrt{2}\\&=2-\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{0}$；(2) $\boldsymbol{2-\sqrt{2}}$
【知识点】
实数混合运算；绝对值化简；零/负指数幂运算
【点评】
本题属于实数运算的基础题型，核心是熟练掌握各类运算的规则，尤其要注意去绝对值时的符号判断、负指数幂的转化，计算时按顺序逐步求解即可避免出错。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）解答第一问时，先利用直角三角形斜边中线的性质得到CD=BD，再结合∠A=30°算出∠ABC=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”即可判断△BCD的形状。
（2）解答第二问时，要判断∠DBF的度数是否变化，可通过证明三角形全等将∠DBF转化为度数已知的角：先根据直角三角形和等边三角形的性质得到两组对应边相等，再通过角度推导得到两边的夹角相等，即可证明△BDF≌△CDE，进而得到∠DBF的固定度数，说明其不随点E位置变化。
【解析】
（1）在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$∠A=30°$，因此$∠ABC=180°-90°-30°=60°$。
因为D是AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$CD=BD=\frac{1}{2}AB$。
已知$∠ABC=60°$，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，因此$△BCD$是等边三角形。
（2）$∠DBF$的度数不变，理由如下：
∵$∠ACB=90°$，D是AB的中点，
∴$CD=AD=BD=\frac{1}{2}AB$，
∴$∠DCE=∠A=30°$。
∵$△DEF$为等边三角形，
∴$DF=DE$，$∠FDE=60°$，即$∠CDE+∠FDC=60°$。
由（1）得$△BCD$是等边三角形，
∴$∠BDC=60°$，即$∠BDF+∠FDC=60°$，
∴$∠BDF=∠CDE$。
在$△BDF$和$△CDE$中：
$\{\begin{array}{l} BD=CD\\ ∠BDF=∠CDE\\ DF=DE\end{array} $
∴$△BDF≌△CDE(SAS)$，
∴$∠DBF=∠DCE=30°$，即$∠DBF$的度数不变。
【答案】
(1) 等边三角形
(2) $∠DBF$的度数不变，始终为$30°$
【知识点】
直角三角形的性质；等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，第一问考察特殊三角形的判定，难度较低；第二问需要结合等边三角形的性质推导边角关系，通过全等三角形实现角度的转化，能较好地锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7