【分析】
(1) 要探究PN与BM的数量关系，结合等腰△ABC、∠A=45°及多处垂直的已知条件，可通过作平行线构造全等三角形和等腰三角形，建立两条线段的联系：首先过P作PF平行于AC，可得到45°角，推出等腰直角△BEP，得到BE=PE；再证明△PEN和△BEF全等，将PN转化为BF；最后利用等腰三角形三线合一的性质，得到BF=2BM，即可推导出PN和BM的数量关系。
(2) 当P在AB延长线上时，先按要求补全图形，沿用(1)的思路，同样作平行于AC的辅助线，构造全等三角形和等腰三角形，通过全等转化线段，结合等腰三角形三线合一的性质，验证(1)的结论是否成立。
【解析】
(1) 猜想：$PN=2BM$，证明如下：
如图①，过点P作$PF// AC$，分别交BC、BD于F、E两点，由平行线的性质可得$∠ PFB=∠ C$，$∠ BPE=∠ A=45°$。
$\because BD⊥ AC$，$PF// AC$，$\therefore PF⊥ BD$，即$∠ BEP=∠ BEF=90°$。
在$Rt△ BEP$中，$∠ PBE=90°-∠ BPE=90°-45°=45°$，$\therefore ∠ PBE=∠ BPE$，$\therefore BE=PE$。
$\because PM⊥ BC$，$\therefore ∠ PMB=90°$，$\therefore ∠ BNM+∠ EBF=90°$；在$Rt△ PEN$中，$∠ PNE+∠ EPN=90°$。
又$\because ∠ BNM=∠ PNE$（对顶角相等），$\therefore ∠ EBF=∠ EPN$。
在$△ PEN$和$△ BEF$中：
$\begin{cases}∠ EPN=∠ EBF \\PE=BE \\∠ PEN=∠ BEF=90°\end{cases}$
$\therefore △ PEN≌△ BEF(ASA)$，$\therefore PN=BF$。
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ C$，又$\because ∠ PFB=∠ C$，$\therefore ∠ ABC=∠ PFB$，$\therefore PB=PF$，即$△ PBF$为等腰三角形。
$\because PM⊥ BC$，由等腰三角形三线合一的性质可知M是BF中点，$\therefore BF=2BM$，$\therefore PN=2BM$。
(2) 补全图形如图②所示，(1)中的结论仍然成立，即$PN=2BM$，证明如下：
过点P作$PF// AC$，交CB的延长线于点E，交DB的延长线于点F，由平行线的性质可得$∠ E=∠ C$，$∠ BPF=∠ A=45°$。
$\because BD⊥ AC$，$PF// AC$，$\therefore BD⊥ PF$，即$∠ BFP=90°$。
在$Rt△ BFP$中，$∠ PBF=∠ ABD=90°-∠ A=45°$，$\therefore ∠ PBF=∠ BPF$，$\therefore BF=PF$。
$\because PM⊥ BC$，$\therefore ∠ BMN=90°$，$\therefore ∠ EBF+∠ BNM=90°$；在$Rt△ PFN$中，$∠ NPF+∠ PNF=90°$。
又$\because ∠ BNM=∠ PNF$（对顶角相等），$\therefore ∠ EBF=∠ NPF$。
在$△ BFE$和$△ PFN$中：
$\begin{cases}∠ EBF=∠ NPF \\BF=PF \\∠ BFE=∠ PFN=90°\end{cases}$
$\therefore △ BFE≌△ PFN(ASA)$，$\therefore BE=PN$。
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ C$，又$\because ∠ E=∠ C$，$∠ ABC=∠ PBE$（对顶角相等），$\therefore ∠ E=∠ PBE$，$\therefore PB=PE$，即$△ PBE$为等腰三角形。
$\because PM⊥ EB$，由等腰三角形三线合一的性质可知M是BE中点，$\therefore BE=2BM$，$\therefore PN=2BM$。
【答案】
(1) $PN=2BM$，证明见解析
(2) 补全图形见解析，(1)中的结论仍然成立，即$PN=2BM$，证明见解析
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题属于几何综合探究题，核心是通过添加平行线构造全等三角形与等腰三角形，将待探究的两条线段通过全等转化、等腰三线合一建立联系，对几何辅助线构造能力和逻辑推理能力有一定要求，掌握常见辅助线的构造方法是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.5
