已知$M,N$分别为$∠ AOB$(锐角)的边$OA$,$OB$上的两点,把$∠ AOB$沿$MN$折叠,点$O$落在$∠ AOB$所在平面内的点$C$处.
(1) 如图①,若点$C$在$∠ AOB$内部,$∠ CMA=20°$,$∠ CNB=50°$,求$∠ AOB$的度数;
(2) 如图②,若$∠ AOB=45°$,$ON^2=2$,折叠后点$C$在直线$OB$的上方,$CM$与$OB$交于点$E$,且$MN=ME$,求折痕$MN$的长;
(3) 如图③,若折叠后,直线$MC⊥ OB$,垂足为$E$,且$OM=5$,$ME=3$,求此时$ON$的长.
答案：(1) 因为 ∠CMA = 20°,∠CNB = 50°,∠CMA + ∠CMO=180°,∠CNB + ∠CNO=180°,所以∠CMO=180°-∠CMA = 160°,∠CNO = 180°-∠CNB = 130°. 由折叠的性质,得$∠OMN = \frac{1}{2}∠CMO = 80°$,$∠ONM = \frac{1}{2}∠CNO = 65°$. 又∠AOB + ∠OMN + ∠ONM = 180°,所以 ∠AOB = 180°-∠OMN -∠ONM=35°.
(2) 由折叠的性质,得∠EMN = ∠OMN,所以∠OME=2∠OMN. 因为∠AOB=45°,所以∠MNE=∠AOB+∠OMN=45°+∠OMN. 因为 MN=ME,所以∠OEM=∠MNE=45°+∠OMN. 因为∠AOB + ∠OME + ∠OEM=180°,所以 45°+2∠OMN+45°+∠OMN=180°,即∠OMN=30°. 过点 N 作 ND⊥OM 于点 D,则∠ODN=∠MDN=90°. 所以∠AOB + ∠OND=90°,即∠OND=∠AOB=45°. 所以 OD=DN. 因为$ON^2=2$,$OD^2+DN^2=ON^2$. 所以$DN^2=\frac{1}{2}ON^2=1$,即 DN=1. 所以 MN=2DN=2.
(3) 因为 ME⊥OB,所以∠OEM=90°. 若点 N 在线段 OE 上,如图①. 在 Rt△OEM 中,OM=5,ME=3,所以$OE^2=OM^2-ME^2=4^2$. 所以 OE=4. 由折叠的性质,得 CM=OM=5,CN=ON,所以 CE=CM-ME=2. 在 Rt△CEN 中,EN=OE-ON=4-ON,且$EN^2+CE^2=CN^2$,所以$(4-ON)^2+2^2=ON^2$,解得$ON=\frac{5}{2}$;若点 N 在线段 OE 的延长线上,如图②. 由折叠的性质,得 CM=OM=5,CN=ON,所以 CE=CM+ME=8. 在 Rt△CEN 中,EN=ON-OE=ON-4,且$EN^2+CE^2=CN^2$,所以$(ON-4)^2+8^2=ON^2$,解得 ON=10. 综上,ON 的长为$\frac{5}{2}$或 10.
