典例(2026·江苏镇江期末)阅读与理解.
【阅读材料】一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象是一条直线,通常也称为直线$y=kx+b$,其中$k$称为直线的斜率,它表示直线关于坐标轴的倾斜程度.特别地,当$k=0$时,直线$y=b$.所以,直线$y=kx+b$可由直线$y=kx(k≠0)$经过平移得到.已知直线上的两点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$,如何求出$k$的值呢?将$A,B$两点的坐标分别代入$y=kx+b$中,得$y_1=kx_1+b,y_2=kx_2+b$.把上面两式相减,消去$b$,得到$y_2-y_1=k(x_2-x_1)$,当$x_2≠x_1$时,求得$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.因此,当$x_2≠x_1$时,直线$AB$的斜率等于直线上两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值.特别地,当$x_2=x_1$时,直线与$y$轴平行(或垂直于$x$轴),此时直线的斜率$k$不存在.
【理解运用】
(1)已知$P(1,3),Q(4,6)$两点,则直线$PQ$的斜率$k=$
,其函数表达式为
;
(2)已知$E(2,3),F(6,m)$两点,其中$m$为常数.若直线$EF$与直线$y=2x-7$平行,求$m$的值;
【拓展迁移】
(3)若直线$l_1:y=kx+b_1(k≠0)$上有$A(2,a),B(3,2a-1)$两点,直线$l_2:y=kx(k≠0)$上有一点$C(-3,-2a-1)$,则$a=$
, $k=$
;
(4)求证:平面上$M(-6,-1),N(2,3),K(4,7)$三点不共线.
【母题分析】▶通过材料阅读,掌握斜率公式$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x_2≠x_1)$,应用斜率公式解答:(1)由点的坐标计算直线$PQ$的斜率$k$,进而得到直线$PQ$的函数表达式;(2)由平行得出直线斜率,利用斜率公式$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$,解方程得出$m$的值;(3)根据两直线上的点的坐标计算斜率后,根据两直线的斜率关系,得出等量关系,求得$a$的值,即可得出$k$的值;(4)分别计算直线$MN,MK$的斜率即可得证.
【答案】(1) 1 $y=x+2$ 解析:因为$P(1,3),Q(4,6)$,所以由斜率公式$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$,得$k=\frac{y-3}{x-1}=\frac{6-3}{4-1}=1$.所以直线$PQ$的函数表达式为$y-3=x-1$,即$y=x+2$.
(2)因为直线$EF$与直线$y=2x-7$平行,所以直线$EF$的斜率为2.因为点$E$的坐标为$(2,3)$,点$F$的坐标为$(6,m)$,其中$m$为常数,所以$\frac{m-3}{6-2}=2$,解得$m=11$.则$m$的值为11.
(3) 4 3 解析:由题意,得直线$l_1$的斜率$k=\frac{(2a-1)-a}{3-2}=a-1$,直线$l_2$的斜率$k=\frac{-2a-1}{-3}=\frac{2a+1}{3}$,所以$a-1=\frac{2a+1}{3}$,解得$a=4$.所以$k=a-1=3$.
(4)由题意,得$k_{MN}=\frac{3+1}{2+6}=\frac{1}{2},k_{MK}=\frac{7+1}{4+6}=\frac{4}{5}$.因为$k_{MN}≠k_{MK}$,所以平面上$M(-6,-1),N(2,3),K(4,7)$三点不共线.
