【分析】
解题首先要掌握找一个数因数的方法：将该数拆成两个非零自然数相乘的形式，参与相乘的所有数都是这个数的因数。先分别找出12和18的全部因数，再对比两组因数，二者都包含的数就是它们的公因数，公因数里数值最大的就是最大公因数。
【解析】
1. 找12的因数：
由$1×12=12$，$2×6=12$，$3×4=12$，可得12的因数为1、2、3、4、6、12，在第二行对应数字的空格处画√。
2. 找18的因数：
由$1×18=18$，$2×9=18$，$3×6=18$，可得18的因数为1、2、3、6、9、18，在第三行对应数字的空格处画√。
3. 确定公因数和最大公因数：
对比12和18的因数，共同的因数有1、2、3、6，其中最大的数是6。
【答案】
1,2,3,6；6
【知识点】
找因数的方法、公因数、最大公因数
【点评】
本题属于基础概念类题目，解题核心是熟练掌握找因数的方法，准确理解公因数和最大公因数的定义，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时先掌握找一个数因数的方法：用该数依次除以1、2、3……，若能整除，对应的除数和商都是它的因数。我们可以先分别找出16和36的所有因数，再从两组因数中筛选出同时属于两者的数，即为公因数，其中数值最大的就是最大公因数。
【解析】
第一步：找16的因数
16÷1=16，16÷2=8，16÷4=4，因此16的因数有：1、2、4、8、16。
第二步：找36的因数
36÷1=36，36÷2=18，36÷3=12，36÷4=9，36÷6=6，因此36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。
第三步：找公因数和最大公因数
对比两组因数，同时属于16和36的因数是1、2、4，其中最大的数是4。
【答案】
1,2,4；4
【知识点】
因数的认识、公因数、最大公因数
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对公因数、最大公因数概念的理解，只要熟练掌握找一个数因数的方法，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.85

【分析】
解这道题需要分三步思考：第一步，先回忆找一个数因数的方法，把27拆成两个整数相乘的形式，按从小到大的顺序列举出它所有的因数；第二步，将27的因数逐一验证是否能整除45，能整除的就是27和45共有的因数；第三步，从公因数里找出最大的那个，就是两个数的最大公因数。
【解析】
1. 找27的因数：
因为1×27=27，3×9=27，所以27的因数有1、3、9、27。
2. 筛选27和45的公因数：
分别用27的因数除45验证：
45÷1=45，无余数，1是45的因数；
45÷3=15，无余数，3是45的因数；
45÷9=5，无余数，9是45的因数；
45÷27=1……18，有余数，27不是45的因数。
因此27和45的公因数是1、3、9。
3. 找最大公因数：在公因数1、3、9中，最大的数是9，即27和45的最大公因数是9。
【答案】
1,3,9,27 1,3,9 9
【知识点】
因数的找法、公因数、最大公因数
【点评】
本题考查因数、公因数及最大公因数的相关应用，核心是掌握列举法找因数的方法，再通过验证筛选出公共因数，属于公因数相关知识的基础考查题型，熟练掌握列举法可快速解题。
【难度系数】
0.8

【分析】
求两个数的最大公因数可以用小学阶段常用的列举法，解题思路分三步：第一步分别罗列出两个数的所有因数；第二步找出两个数共有的因数；第三步从公有因数中选出最大的那个，就是两个数的最大公因数。如果两个数是倍数关系，可直接用规律：较小数就是它们的最大公因数，能简化解题步骤。
【解析】
（1）先找28的因数：1,2,4,7,14,28；再找21的因数：1,3,7,21；两个数的公有因数里最大的是7。
（2）先找34的因数：1,2,17,34；再找17的因数：1,17；两个数的公有因数里最大的是17（也可直接观察到34是17的2倍，倍数关系的两个数最大公因数是较小数17）。
（3）先找56的因数：1,2,4,7,8,14,28,56；再找48的因数：1,2,3,4,6,8,12,16,24,48；两个数的公有因数里最大的是8。
（4）先找15的因数：1,3,5,15；再找42的因数：1,2,3,6,7,14,21,42；两个数的公有因数里最大的是3。
【答案】
(1)7；(2)17；(3)8；(4)3
【知识点】
因数的概念、公因数、最大公因数
【点评】
本题是求最大公因数的基础题型，熟练掌握列举法找因数是解题核心，后续也可学习短除法提升解题效率，遇到存在倍数关系的两个数时可直接用规律快速得出结果。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决这道题，首先要明确核心规律：两个数的所有公因数，都是它们最大公因数的因数；反过来，最大公因数的所有因数也都是这两个数的公因数。所以本题只需要求出12的所有因数，数出因数的总个数，就能得到这两个数的公因数个数。
【解析】
第一步：根据公因数和最大公因数的关系可知，这两个数的公因数就是12的所有因数。
第二步：列举12的因数：通过乘法配对可得，1×12=12，2×6=12，3×4=12，所以12的因数有1、2、3、4、6、12，共6个。
因此这两个数一定有6个公因数，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 公因数与最大公因数
2. 找一个数的因数
【点评】
本题重点考查对公因数和最大公因数关系的理解，解题关键是掌握“两个数的公因数就是它们最大公因数的全部因数”，再通过列举法找出对应因数的个数即可解题。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先回忆求两个数最大公因数的方法：当两个数都分解为质因数相乘的形式时，它们的最大公因数就是两个数所有公有质因数的乘积。解题时先分别找出A和B包含的质因数，再挑出两个数共有的质因数，最后把公有质因数相乘就能得到结果。
【解析】
解：先明确A、B的质因数组成：
A=2×3×m，包含的质因数有2、3、m；
B=2×m×7，包含的质因数有2、7、m。
A和B公有的质因数是2和m，根据最大公因数的计算规则，最大公因数等于公有质因数的乘积，即：2×m=2m。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
最大公因数的计算、分解质因数
【点评】
本题考查通过分解质因数求最大公因数的方法，解题核心是准确识别两个数共有的质因数，掌握对应方法后很容易得分。
【难度系数】
0.8

【分析】
要判断两组数是否有公因数3，只需看两个数是否都是3的倍数（3的倍数特征：各数位上的数字之和是3的倍数）；判断是否有公因数5，只需看两个数是否都是5的倍数（5的倍数特征：个位是0或5）。我们只需要逐个分析每个选项里的两个数是否符合对应倍数特征，就能选出正确答案。
【解析】
先找有公因数3的选项：
A选项：75各数位和为7+5=12，是3的倍数；28各数位和为2+8=10，不是3的倍数，排除。
B选项：50各数位和为5+0=5，不是3的倍数；60各数位和为6+0=6，是3的倍数，排除。
C选项：492各数位和为4+9+2=15，是3的倍数；531各数位和为5+3+1=9，是3的倍数，两个数都含因数3，所以有公因数3。
D选项：73各数位和为7+3=10，不是3的倍数；546各数位和为5+4+6=15，是3的倍数，排除。
因此有公因数3的选C。
再找有公因数5的选项：
A选项：75个位是5，是5的倍数；28个位是8，不是5的倍数，排除。
B选项：50个位是0，60个位是0，都是5的倍数，两个数都含因数5，所以有公因数5。
C选项：492个位是2，531个位是1，都不是5的倍数，排除。
D选项：73个位是3，546个位是6，都不是5的倍数，排除。
因此有公因数5的选B。
【答案】
C；B
【知识点】
3的倍数特征；5的倍数特征；公因数的认识
【点评】
本题核心是结合3、5的倍数特征判断公因数，只要熟记倍数特征，逐一排查选项即可得到答案，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题核心是明确“两个数的最大公因数是1”即两个数为互质数，再结合各小问的数的特征推导：
1. 两个都是质数：质数只有1和它本身两个因数，任意两个不同的质数公共因数只有1，任选两个不同质数即可。
2. 两个都是合数：合数除1和自身外还有其他因数，只需选两个没有公共非1因数的合数即可。
3. 一个质数、一个合数：只要合数不是该质数的倍数，二者的公共因数就只有1，满足要求。
4. 一个奇数、一个偶数：奇数不能被2整除，偶数能被2整除，只需选没有公共非1因数的一奇一偶即可。
本题答案不唯一，符合要求即可。
【解析】
首先明确：最大公因数是1的两个数互为互质数，结合要求分别举例：
（1）质数的因数只有1和它本身，不同质数的公共因数只有1，示例：2和3，二者都是质数，最大公因数是1。
（2）选不含相同质因数的两个合数即可，示例：4和9，4的因数为1、2、4，9的因数为1、3、9，最大公因数是1，二者都是合数。
（3）选不是质数倍数的合数即可，示例：7和15，7是质数，15不是7的倍数，二者最大公因数是1，15是合数。
（4）选没有公共非1因数的一奇一偶即可，示例：3和8，3是奇数，8是偶数，二者最大公因数是1。
注：本题答案不唯一，满足对应条件且最大公因数为1即可。
【答案】
答案不唯一，如(1)2 3 (2)4 9 (3)7 15 (4)3 8
【知识点】
1. 最大公因数的概念
2. 质数与合数的定义
3. 奇数与偶数的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，考查互质数的判定，结合数的分类相关知识设置问题，答题灵活性较强，熟练掌握各类数的特征即可快速解答。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决这个问题，我们先梳理题意：每个泥人的单价相同，说明单价既能整除东东花费的54元，也能整除明明花费的72元，即单价是54和72的公因数。题目要求价格最高是多少，本质就是求54和72的最大公因数。
【解析】
我们可以用列举法求解，符合当前学段的知识要求：
1. 先分别列出54和72的所有因数：
54的因数：1、2、3、6、9、18、27、54
72的因数：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72
2. 找出两个数的公共因数：1、2、3、6、9、18
3. 公共因数中最大的数是18，所以泥人的最高单价是18元。
也可以用短除法快速计算：用公因数2、3、3依次除54和72，最终得到互质的3和4，将所有除数相乘2×3×3=18，即为最大公因数。
【答案】
18元
【知识点】
最大公因数的应用，最大公因数的计算
【点评】
本题结合传统文化情境出题，将数学知识和生活实际关联，解题核心是把“求最高单价”的实际问题转化为求两个数最大公因数的数学问题，能锻炼学生的问题转化能力。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决瓷砖正好铺满且不可切割的问题，核心思路是：正方形瓷砖的边长必须同时是长方形地面长和宽的因数，这样长和宽方向都能铺整块瓷砖。解题时首先要统一长度单位，把地面的长、宽换算成和瓷砖边长一致的分米单位，再分别判断两种瓷砖的边长是否同时是长和宽的因数即可。
【解析】
第一步：统一长度单位
因为1米=10分米，所以：
16米=16×10=160分米
12米=12×10=120分米
第二步：判断边长8分米的瓷砖是否符合要求
160÷8=20，长的方向刚好能铺20块，无剩余
120÷8=15，宽的方向刚好能铺15块，无剩余
说明8同时是160和120的因数，符合要求。
第三步：判断边长9分米的瓷砖是否符合要求
160÷9=17……7，长的方向铺完17块后剩余7分米
120÷9=13……3，宽的方向铺完13块后剩余3分米
说明9既不是160的因数，也不是120的因数，不符合要求。
【答案】
选用边长为 8 分米的正方形瓷砖能正好铺满
理由:16 米=160 分米,12 米=120 分米,9 既不是 160 的因数,也不是 120 的因数,所以边长为 9 分米的正方形瓷砖不能正好铺满。8 既是 160 的因数,又是 120 的因数,所以边长为 8 分米的正方形瓷砖能正好铺满。
【知识点】
公因数应用、长度单位换算、因数判断
【点评】
本题结合生活中铺地砖的实际场景，将数学知识和实际问题结合，需要先统一单位，再根据整除特性判断边长是否符合要求，能有效锻炼知识迁移和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
拿到这道题首先要抓住“平均分”“剩余”“缺少”“最多徒弟数”这些关键信息思考：①菊花扣平均分后剩3个，说明实际分掉的菊花扣数量是45-3=42个，徒弟的人数正好是42的因数；②金鱼扣平均分缺2个，说明要刚好分完金鱼扣需要34+2=36个，徒弟的人数也正好是36的因数。要求最多有多少个徒弟，本质就是求42和36的最大公因数。
【解析】
第一步：计算刚好能平均分的菊花扣数量：
45 - 3 = 42（个）
第二步：计算刚好能平均分的金鱼扣数量：
34 + 2 = 36（个）
第三步：求42和36的最大公因数：
先分别列出两个数的因数：
42的因数：1、2、3、6、7、14、21、42
36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36
两个数的公因数为1、2、3、6，其中最大的公因数是6。
【答案】
6
【知识点】
最大公因数的应用、因数的概念
【点评】
本题结合传统盘花扣的文化场景出题，既渗透了传统文化知识，又考查了最大公因数在实际分配问题中的应用，解题的核心是将有剩余、有缺额的分配问题转化为求两个数最大公因数的数学问题。
【难度系数】
0.65