【分析】
要想用正方形正好铺满长27分米、宽18分米的长方形，说明正方形的边长既要能整除27（刚好摆满长），也要能整除18（刚好摆满宽），也就是正方形的边长是27和18的公因数。我们只需要先分别找出27和18的所有因数，再找出它们公有的因数，就是符合要求的正方形边长。
【解析】
1. 先找27的所有因数：
通过除法计算可得，27能被1、3、9、27整除，所以27的因数有1、3、9、27。
2. 再找18的所有因数：
通过除法计算可得，18能被1、2、3、6、9、18整除，所以18的因数有1、2、3、6、9、18。
3. 找27和18的公因数：
对比两个数的因数，公有的因数是1、3、9，这三个数都能同时整除27和18，对应边长的正方形都能正好铺满长方形。
【答案】
1；3；9
【知识点】
1. 公因数的应用
2. 因数的求解
【点评】
这道题把实际铺砖问题和公因数知识结合，解题核心是将“正好铺满”的实际要求转化为求两个数公因数的数学问题，掌握因数的找法和公因数的概念就能快速解答。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先读题提取关键信息：6人一排或9人一排都正好排完，说明总人数既是6的倍数，也是9的倍数，即总人数是6和9的公倍数。题目要求“最少有多少人”，实际就是求6和9的最小公倍数，接下来用学过的求最小公倍数的方法计算即可。
【解析】
要满足6人一排、9人一排都正好排完，总人数是6和9的公倍数，求最少人数就是求两个数的最小公倍数。
方法1：列举法
6的倍数有：6、12、18、24、30……
9的倍数有：9、18、27、36……
两个数公有的最小倍数是18。
方法2：分解质因数法
6=2×3，9=3×3
最小公倍数=公有的质因数×各自独有的质因数=3×2×3=18
因此舞蹈组最少有18人。
【答案】
18
【知识点】
1. 公倍数的认识
2. 最小公倍数的求法
【点评】
这道题是公倍数知识的典型实际应用题，解题核心是把题干中“正好排完”“最少”的表述转化为求两个数最小公倍数的数学问题，掌握最小公倍数的求解方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先解读题目的核心条件：每8枝一束或每12枝一束都多4枝，说明玫瑰总枝数减去4之后，能同时被8和12整除，也就是总枝数减4是8和12的公倍数。已知总枝数是50多枝，因此我们只需要先求出8和12的公倍数，再找到符合“加4后在50~60之间”的那个公倍数，最后加4即可得到总枝数。
【解析】
第一步：先求8和12的最小公倍数
用短除法计算：
8和12先同时除以公因数2，得到4和6；
再同时除以公因数2，得到2和3，此时2和3互质；
所以8和12的最小公倍数是 $2×2×2×3=24$。
第二步：找24的倍数中符合条件的数
24的倍数有：24、48、72……
已知总枝数是50多枝，所以总枝数减4的结果应该接近50，其中48是符合要求的（下一个倍数72加4为76，超过60，不符合要求）。
第三步：计算总枝数
$48+4=52$（枝）
【答案】
52
【知识点】
1. 公倍数的应用
2. 最小公倍数的求法
【点评】
这道题结合生活场景考查公倍数的实际应用，解题的关键是正确理解“每组分都多4枝”的含义，将实际问题转化为求公倍数的数学问题，再结合给定的数量范围筛选出正确结果，做题时注意不要漏加多出来的4枝。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先回忆最大公因数的求法：若两个数已经分解为质因数相乘的形式，它们的最大公因数就是所有公有质因数的乘积。观察甲数和乙数的分解式，先找出两个式子中都包含的质因数，再将这些公有质因数相乘，就能得到两个数的最大公因数。
【解析】
首先分别列出甲数、乙数的质因数：
甲数=2×3×a，质因数为2、3、a；
乙数=3×5×a，质因数为3、5、a；
接着找出两个数共有的质因数：3和a；
最后将公有质因数相乘得最大公因数：3×a=3a。
【答案】
3a
【知识点】
最大公因数的计算，分解质因数
【点评】
本题属于最大公因数的基础应用题型，解题关键是准确识别两个数的公有质因数，熟练掌握方法后可快速求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先观察集合图：代表甲的因数的椭圆完全包含在代表乙的因数的椭圆内，说明甲的所有因数都是乙的因数，由此可推出甲是乙的因数，也就是乙是甲的倍数，两个数成倍数关系。再回忆倍数关系下两个数的最大公因数、最小公倍数的规律：两个非0自然数成倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数，结合这个规律就能得出答案。
【解析】
1. 分析集合图含义：甲的因数集合完全属于乙的因数集合，说明甲的所有因数都是乙的因数，因此甲是乙的因数，乙是甲的倍数，两数为倍数关系。
2. 运用规律求解：当两个非0自然数成倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数（即甲），最小公倍数是较大的数（即乙）。因此最大公因数选A，最小公倍数选B。
【答案】
A；B
【知识点】
1. 因数的意义
2. 最大公因数
3. 最小公倍数
【点评】
本题结合集合图考查因数倍数关系、特殊关系下最大公因数和最小公倍数的求法，解题核心是先通过集合图判断两数的倍数关系，再对应规律求解，属于基础考点。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先明确题目给出的核心条件：a和b是相邻的非0自然数。第一步先思考相邻非0自然数的特点：两个数的差是1，除了1之外没有其他共同的因数，也就是这两个数属于互质数。第二步回忆互质数的最大公因数和最小公倍数的相关规律：互质的两个数，最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积。最后对应选项选出答案即可，也可以通过举具体例子验证结论，降低解题难度。
【解析】
我们可以通过举例验证：
1. 取相邻的非0自然数2和3：
2的因数有1、2，3的因数有1、3，二者的公因数只有1，所以最大公因数是1，对应选项A。
2的倍数有2、4、6、8……，3的倍数有3、6、9……，二者的最小公倍数是6，也就是2×3=ab，对应选项D。
2. 再取相邻非0自然数3和4验证：最大公因数是1，最小公倍数是12=3×4，结论一致。
因此a和b的最小公倍数是ab，最大公因数是1。
【答案】
D；A
【知识点】
相邻自然数的性质；最大公因数；最小公倍数
【点评】
本题核心考察互质数的公因数与公倍数的规律，解题关键是判断出相邻非0自然数为互质数，牢记互质数的相关结论即可快速答题，也可通过举具体例子的方法验证答案。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时先明确三个筛选条件：①两个数都为合数；②两个数的最大公因数是1（即两数互质）；③互质的两个数的最小公倍数等于两数的乘积，因此两数乘积应为144。我们可以通过逐一排查选项，排除不符合条件的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：8和18都是合数，但两者的最大公因数是2，不符合“最大公因数是1”的要求，排除；
2. 选项B：1既不是质数也不是合数，不符合“两个合数”的要求，排除；
3. 选项C：9和16都是合数，9的因数为1、3、9，16的因数为1、2、4、8、16，两者最大公因数是1，且乘积为9×16=144，即最小公倍数为144，完全符合题意；
4. 选项D：4和36的最大公因数是4，最小公倍数是36，不符合要求，排除。
因此正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
合数的认识，最大公因数，最小公倍数
【点评】
本题综合考查了合数、最大公因数和最小公倍数的相关应用，解题时结合排除法可以快速筛选出正确答案，核心是牢记互质的两个数的最小公倍数等于两数的乘积这一规律。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决不需要重新安装的路灯数量问题，首先得明确不需要重装的路灯的位置特征：它到起点的距离必须同时是原来间隔18米和新间隔12米的倍数，也就是12和18的公倍数。解题步骤为：先求出12和18的最小公倍数，再找出144米以内所有符合要求的公倍数，最后加上起点处原本就有的1盏路灯，就能得到总数量。
【解析】
1. 求12和18的最小公倍数：
用短除法计算，12和18先同时除以公因数2得6和9，再同时除以公因数3得2和3（2和3互质），因此最小公倍数为 $2×3×2×3=36$。
2. 找出不超过144的36的倍数：分别是36、72、108、144，共4个对应位置。
3. 加上起点处不需要重装的1盏路灯，总数量为 $4+1=5$（盏）。
【答案】
不需要重新安装的路灯有5盏。
【知识点】
公倍数应用、最小公倍数计算
【点评】
本题结合生活中安装路灯的实际场景，考查公倍数知识的实际应用，解题核心是找准不需要移动的路灯的位置规律，要注意不要遗漏起点的路灯。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先要明确“每隔几天去一次”的含义：每隔3天去一次，意味着两次去图书馆中间间隔3天，实际是每4天去一次；同理每隔5天去一次实际是每6天去一次。接下来求下一次相遇的时间，本质是求两人去图书馆周期的最小公倍数，只有经过两个周期的最小公倍数的天数，两人才会同时到达图书馆。最后用初始相遇日期加上这个最小公倍数的天数，就能得到下一次相遇的日期。
【解析】
1. 计算两人去图书馆的实际周期：
小宇的周期：$3+1=4$（天）
小海的周期：$5+1=6$（天）
2. 求4和6的最小公倍数：
4的倍数有4、8、12、16……，6的倍数有6、12、18……，因此4和6的最小公倍数是12，即再过12天两人会再次相遇。
3. 计算相遇日期：
$6+12=18$（日）
【答案】
8月18日
【知识点】
最小公倍数应用，间隔周期计算，日期推算
【点评】
本题易错点是混淆“每隔几天”和“每几天”的概念，若直接用间隔天数计算最小公倍数就会出错。解题核心是先将间隔时间转化为实际的周期长度，再用最小公倍数找到共同的重合时间点，是公倍数知识在生活场景中的典型应用。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时首先回忆最大公因数的求法，第一步先找出8的所有因数，可知1~20各数和8的最大公因数只能是8的因数中的一个；第二步逐个计算1到20每个数与8的最大公因数，对应横坐标为该数、纵坐标为最大公因数，依次在图中描点并连线；最后观察所有点对应的纵坐标数值和排列顺序，总结规律即可。
【解析】
1. 先确定8的因数：8的因数有1、2、4、8，因此1~20各数和8的最大公因数只能是这四个数中的一个。
2. 逐一计算各数与8的最大公因数：
1和8的最大公因数是1；2和8的最大公因数是2；3和8的最大公因数是1；4和8的最大公因数是4；
5和8的最大公因数是1；6和8的最大公因数是2；7和8的最大公因数是1；8和8的最大公因数是8；
9和8的最大公因数是1；10和8的最大公因数是2；11和8的最大公因数是1；12和8的最大公因数是4；
13和8的最大公因数是1；14和8的最大公因数是2；15和8的最大公因数是1；16和8的最大公因数是8；
17和8的最大公因数是1；18和8的最大公因数是2；19和8的最大公因数是1；20和8的最大公因数是4。
3. 将每个数对应横坐标，计算出的最大公因数对应纵坐标，在图中描出所有点后依次连线，得到完整图像。
4. 观察计算结果和图像：可以看到所有最大公因数都只有1、2、4、8四种，且每8个数为一组，按照“1,2,1,4,1,2,1,8”的规律循环出现。
【答案】

发现:8的因数有1,2,4,8,所以这些数和8的最大公因数都是1,2,4,8这四个数中的一个。这些数和8的最大公因数是按照“1,2,1,4,1,2,1,8”这个规律循环出现的(合理即可)
【知识点】
最大公因数计算，因数的认识，规律探究
【点评】
本题将最大公因数的计算与规律探索结合，既考查了最大公因数的基础计算能力，也考查了通过运算、观察归纳总结规律的能力，兼具基础性和探究性。
【难度系数】
0.7

【分析】
拿到题目先整理三个条件：①士兵总数除以3余2；②士兵总数除以5余3；③士兵总数除以7余2。观察发现条件①和③的余数相同，都是2，说明士兵总数减去2之后，既能被3整除，也能被7整除，也就是总数减2是3和7的公倍数。我们要找最少的士兵数，就先求3和7的最小公倍数，再加2得到候选数，再验证候选数是否满足除以5余3的条件，若满足就是所求的最小数，若不满足就找下一个公倍数再加2验证即可。
【解析】
1. 合并余数相同的条件：由“每3人一组多2人”“每7人一组多2人”可知，士兵总数减去2之后是3和7的公倍数。
2. 计算3和7的最小公倍数：3和7是互质数，最小公倍数为 $3×7=21$，因此满足前两个条件的最小数为 $21+2=23$。
3. 验证剩余条件：计算 $23÷5=4$（组）$\dots\dots3$（人），刚好符合“每5人一组多出3人”的要求。
因此至少有23名士兵。
【答案】
至少有23名士兵
【知识点】
最小公倍数计算，公倍数的应用，有余数的除法应用
【点评】
本题以经典的“韩信点兵”故事为背景，考查公倍数和有余数除法的综合应用，解题时优先合并余数相同的条件可简化问题，再通过验证即可快速找到最小解，能有效锻炼学生的逻辑推理和问题转化能力。
【难度系数】
0.7