【分析】
这道题考查钉子板上多边形面积的规律探究，解题思路如下：第一步先推导内部钉子数不同、边上钉子数固定为n时的面积表达式：首先明确钉子板上多边形的面积变化规律：当边上钉子数不变时，内部每增加1枚钉子，面积就增加1平方厘米。先推导内部钉子数为0时的面积公式，再依次推导内部钉子数为1、2、3、4、b时的面积表达式；第二步解决后面的实际计算问题时，直接把对应的边上钉子数n、内部钉子数b代入推导出来的通用公式计算即可。
【解析】
（1）根据钉子板上多边形的面积规律：
① 当内部钉子数为0时，面积$S = n÷2 -1$；
② 内部钉子数每增加1，面积增加1平方厘米，因此：
内部1枚时：$S = n÷2 -1 +1 = n÷2$；
内部2枚时：$S = n÷2 +1$；
内部3枚时：$S = n÷2 +2$；
内部4枚时：$S = n÷2 +3$；
内部有$b$枚时：比内部0枚时多了$b$平方厘米，因此$S = n÷2 -1 + b = n÷2 + b -1$。
（2）已知六边形边上钉子数$n=6$，内部钉子数$b=1$，代入通用公式计算：
$S = 6÷2 + 1 -1 = 3$（平方厘米）
（3）已知不规则图形边上钉子数$n=8$，内部钉子数$b=2$，代入通用公式计算：
$S = 8÷2 + 2 -1 = 5$（平方厘米）
【答案】
（1）$n÷2-1$；$n÷2$；$n÷2+1$；$n÷2+2$；$n÷2+3$；$n÷2+b-1$
（2）3
（3）5
【知识点】
1. 钉子板多边形面积规律
2. 规律探究
3. 代数式求值
【点评】
本题是规律探究类题型，需要先通过观察归纳得出多边形面积和内部钉子数、边上钉子数的通用关系，再代入对应数值计算，侧重考查归纳推理能力和公式应用能力，掌握规律后解题难度较低。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题可利用钉子板上多边形的面积计算规律求解，解题思路如下：1. 先明确钉子板多边形的面积计算规律：当相邻钉子间距离为1厘米时，多边形面积 = 内部钉子数 + 边界钉子数÷2 - 1，面积单位为平方厘米；2. 分别数出每个图形的边界钉子数、内部钉子数；3. 将对应数据代入公式计算，即可得到各图形的面积。
【解析】
我们使用钉子板多边形面积计算规律解题：相邻钉子距离为1cm时，$\mathrm{面积}=\mathrm{内部钉子数}+\mathrm{边界钉子数}÷2 -1$。
① 图形边界钉子数为11，内部钉子数为0：
$11÷2-1=4.5$（平方厘米）
② 图形边界钉子数为8，内部钉子数为3：
$8÷2+3-1=6$（平方厘米）
③ 图形边界钉子数为5，内部钉子数为4：
$5÷2+4-1=5.5$（平方厘米）
④ 图形边界钉子数为3，内部钉子数为5：
$3÷2+5-1=5.5$（平方厘米）
【答案】
①：$11÷2-1=4.5$(平方厘米)
②：$8÷2+3-1=6$(平方厘米)
③：$5÷2+4-1=5.5$(平方厘米)
④：$3÷2+5-1=5.5$(平方厘米)
【知识点】
格点多边形面积计算、钉子板多边形规律
【点评】
本题主要考察对格点多边形面积计算规律的掌握，解题的易错点是数边界钉子和内部钉子时出现漏数、多数的问题，只要准确计数，代入公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题考查钉子板上多边形的面积计算，可使用皮克定理求解。首先回忆皮克定理的公式：格点多边形的面积=内部格点数+边界格点数÷2-1。解题时先分别数出多边形内部的钉子数（内部格点数）和落在多边形边上的钉子数（边界格点数），再代入公式计算即可得到结果。数格点时要注意不重复、不遗漏，顶点不要重复计数。
【解析】
第一步：数边界格点：沿着多边形的边逐一枚举，可得边界上共有14个格点；
第二步：数内部格点：多边形内部未落在边上的格点共有18个；
第三步：代入皮克定理计算：
面积 = 18 + 14÷2 - 1
= 18 +7 -1
=24（平方厘米）
【答案】
C
【知识点】
皮克定理，格点多边形面积计算
【点评】
本题解题核心是熟练运用皮克定理，易错点为数格点时出现重复或漏数的情况，计数时可按顺序逐边、逐行计数，提升准确率。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题运用钉子板上多边形的面积计算规律求解。首先要牢记该规律：当每个小方格面积为1平方厘米时，多边形的面积=边界格点数÷2 + 内部格点数 - 1。解题时先分别数出两个多边形边界上的格点数量、内部的格点数量，再将对应数值代入规律公式计算，就能得到两个图形的面积。
【解析】
根据钉子板上多边形的面积规律：$面积=边界格点数÷2 + 内部格点数 -1$
1. 计算左侧多边形面积：
经计数，左侧图形边界格点数为10，内部格点数为8，代入公式得：
$10÷2 +8 -1=5+8-1=12$（平方厘米）
2. 计算右侧多边形面积：
经计数，右侧图形边界格点数为13，内部格点数为8，代入公式得：
$13÷2 +8 -1=6.5+8-1=13.5$（平方厘米）
【答案】
左侧图形面积12平方厘米，右侧图形面积13.5平方厘米，即$10÷2+8-1=12$（平方厘米），$13÷2+8-1=13.5$（平方厘米）
【知识点】
1. 格点多边形面积计算
2. 格点计数
【点评】
本题考查格点类多边形面积的计算能力，解题的易错点是计数格点时出现漏数或重复数的情况，按顺序准确数出边界格点、内部格点，再代入对应公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7

【分析】
解决这道题首先要回忆钉子板上多边形的面积计算公式：多边形的面积 = 内部钉子数 + 边上钉子数÷2 - 1。题目已经给出了八边形的面积和内部钉子数，要求边上的钉子数，我们只需要把已知量代入公式，通过逆运算推导就能求出边上的钉子数。
【解析】
钉子板上多边形的面积公式为：$\mathrm{面积} = \mathrm{内部钉子数} + \mathrm{边上钉子数} ÷ 2 - 1$
我们将公式变形求边上钉子数：
$\mathrm{边上钉子数} = (\mathrm{面积} + 1 - \mathrm{内部钉子数}) × 2$
代入已知条件：面积=6平方厘米，内部钉子数=3枚
$\mathrm{边上钉子数} = (6 + 1 - 3) × 2 = 4 × 2 = 8$（枚）
【答案】
8枚
【知识点】
1. 钉子板多边形面积计算
2. 公式逆运算
【点评】
本题核心是对钉子板上格点多边形面积公式的应用，熟记公式的前提下，理清已知量和未知量的关系，通过简单的逆推运算即可得出结果，计算时要注意公式变形的正确性。
【难度系数】
0.7

【分析】
要使围成的图形面积尽可能大，需尽量贴近5×5网格的边界，减少原有大正方形面积的损耗。首先原有大正方形有4个顶点，要求7个格点且任意三点不共线，每切掉正方形的1个角，顶点数会增加1个（原1个顶点替换为2个新顶点），因此切掉3个角即可得到7个顶点。为了让面积最大，切掉的3个角选择面积最小的直角边为1格的等腰直角三角形，保证裁掉的面积最少。计算面积可以用大正方形面积减去裁掉的3个小三角形面积，也可以用格点多边形面积公式计算。
【解析】
方法1：先计算5×5大正方形的面积：
$5×5=25$（平方厘米）
每个切掉的直角边为1的等腰直角三角形面积：
$1×1÷2=0.5$（平方厘米）
3个小三角形总面积：
$0.5×3=1.5$（平方厘米）
围成图形的面积：
$25-1.5=23.5$（平方厘米）
方法2：用课上学的格点多边形面积公式计算：$\mathrm{格点多边形面积}=\mathrm{内部格点数}+\mathrm{边上格点数}÷2-1$
数得该图形边上有17个格点，内部有16个格点，代入公式得：
$16+17÷2-1=16+8.5-1=23.5$（平方厘米）
【答案】
画法不唯一,如
所围成的图形的面积是23.5平方厘米
【知识点】
格点多边形面积计算、图形切拼、正方形面积计算
【点评】
本题属于操作探究类题型，既考查了学生的构图优化能力，也考查了平面图形面积计算方法的灵活运用，需要结合题干的多个限定条件推导最优图形，兼具实践性和综合性。
【难度系数】
0.6