【分析】
本题为线段和差的常规计算题，解题思路如下：
(1) 结合中点的定义，可将MC、CN分别表示为AC、BC的$\frac{1}{2}$，MN为MC与CN的和，合并后可得MN是AB的$\frac{1}{2}$，代入AB的长度即可求出结果。
(2) 由已知的$AM=\frac{1}{3}AC$、$BN=\frac{1}{3}BC$，可推出$MC=\frac{2}{3}AC$、$CN=\frac{2}{3}BC$，同理MN为MC与CN的和，合并后可得MN是AB的$\frac{2}{3}$，代入AB长度计算即可。
(3) 先根据AB、BC的长度算出AC的长度，再结合已知条件求出AM的长度，进而得到MB的长度；由于G在直线AB上，因此G的位置存在两种情况：在线段AB上、在线段AB的延长线上，分别根据线段的和差关系计算MG的长度即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 因为M，N分别是AC，BC的中点，
所以$MC=\frac{1}{2}AC$，$CN=\frac{1}{2}BC$，
所以$MN=MC+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)=\frac{1}{2}AB$。
因为$AB=90\ \mathrm{cm}$，
所以$MN=\frac{1}{2}×90=45(\mathrm{cm})$。
(2) 因为$AM=\frac{1}{3}AC$，$BN=\frac{1}{3}BC$，
所以$MC=AC-AM=\frac{2}{3}AC$，$CN=BC-BN=\frac{2}{3}BC$，
所以$MN=MC+CN=\frac{2}{3}AC+\frac{2}{3}BC=\frac{2}{3}(AC+BC)=\frac{2}{3}AB$。
因为$AB=90\ \mathrm{cm}$，
所以$MN=\frac{2}{3}×90=60(\mathrm{cm})$。
(3) 因为$AB=90\ \mathrm{cm}$，$BC=30\ \mathrm{cm}$，
所以$AC=AB-BC=90-30=60(\mathrm{cm})$。
因为$AM=\frac{1}{3}AC$，
所以$AM=\frac{1}{3}×60=20(\mathrm{cm})$，
所以$MB=AB-AM=90-20=70(\mathrm{cm})$。
分两种情况讨论：
①当点G在线段AB上时，$MG=MB-GB=70-15=55(\mathrm{cm})$；
②当点G在线段AB的延长线上时，$MG=MB+GB=70+15=85(\mathrm{cm})$。
综上，MG的长度为55 cm或85 cm。
【答案】
(1) $45\ \mathrm{cm}$；
(2) $60\ \mathrm{cm}$；
(3) $55\ \mathrm{cm}$或$85\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段中点计算，线段和差运算，分类讨论思想
【点评】
本题前两问可采用整体代入的方法简化计算，无需单独求解AC、BC的长度；第三问需注意“直线”和“线段”的区别，涉及直线上的动点时要考虑所有可能的位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时紧扣线段中点的性质，分三步思考：
1. 解决第(1)问时，首先回忆“线段中点将线段分为长度相等的两部分”，因此可以先表示出M是AC中点时CM的长度，N是CB中点时NC的长度，再观察图形可得MN=CM+NC，代入已知的AC、CB长度计算即可；
2. 第(2)问是第(1)问的一般化推广，无需具体数值，沿用第(1)问的推导思路，将AC+CB看作整体，即可得到MN和AC+CB的数量关系，进而总结出通用结论；
3. 第(3)问点C的位置发生了变化，先根据题意画出对应的线段图，此时观察图形可得MN=CM-NC，再结合中点性质将CM、NC用AC、CB表示，代入AC-CB=b的条件即可推导出MN的长度。
【解析】
(1) 因为M，N分别是AC，CB的中点，
所以 $CM=\frac{1}{2}AC$，$NC=\frac{1}{2}BC$。
因为 $AC=12\ \mathrm{cm}$，$CB=9\ \mathrm{cm}$，
所以 $CM=6\ \mathrm{cm}$，$NC=\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}$，
所以 $MN=CM+NC=6+\frac{9}{2}=10.5(\mathrm{cm})$。
(2) 因为M，N分别是AC，CB的中点，
所以 $CM=\frac{1}{2}AC$，$NC=\frac{1}{2}BC$，
所以 $MN=CM+NC=\frac{1}{2}(AC+CB)$。
因为 $AC+CB=a\ \mathrm{cm}$，
所以 $MN=\frac{a}{2}\ \mathrm{cm}$。
结论：若C为线段AB上任意一点，M，N分别是AC，CB的中点，则线段MN的长度是线段AB长度的一半。
(3) 画出图形如答图。
$MN=\frac{b}{2}\ \mathrm{cm}$，理由如下：
因为M，N分别是AC，CB的中点，
所以 $CM=\frac{1}{2}AC$，$NC=\frac{1}{2}BC$。
因为 $MN=CM-CN$，
所以 $MN=\frac{1}{2}(AC-CB)$。
因为 $AC-CB=b\ \mathrm{cm}$，
所以 $MN=\frac{b}{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10.5\ \mathrm{cm}}$；
(2) 线段MN的长度为$\boldsymbol{\frac{a}{2}\ \mathrm{cm}}$，结论：若C为线段AB上任意一点，M，N分别是AC，CB的中点，则线段MN的长度是线段AB长度的一半；
(3) 图形见，线段MN的长度为$\boldsymbol{\frac{b}{2}\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题以线段中点为核心，考查不同位置下线段长度的推导，需要熟练掌握中点的性质，灵活运用线段的和差关系转化线段，同时第三问需要注意点的位置变化对线段和差的影响，有助于提升逻辑推理和分类讨论的能力。
【难度系数】
0.7