24.(14分)(2025·仪征期中)如图①,O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠BOC=48°.现将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处,一边OD与射线OB重合,如图②.
(1)如图②,∠EOC=
42
°.
(2)如图③,将三角尺DOE绕点O逆时针旋转一定的角度,此时OC是∠BOE的平分线,求∠BOD的度数.
(3)将三角尺DOE绕点O逆时针旋转α°(0＜α＜90).
①求∠COD的度数.(用含α的代数式表示)
②是否存在某个时刻满足∠AOD=4∠COD?如果存在,求此时∠BOD的度数;如果不存在,请说明理由.
答案：24.(1)42
(2)解:因为OC是$∠ BOE$的平分线,
所以$∠ BOE=2∠ BOC=2×48°=96°$,
所以$∠ BOD=∠ BOE-∠ DOE=96°-90°=6°$.
(3)解:①当OD在$∠ BOC$内部时,
因为$∠ BOD=α°$,$∠ BOC=48°$,
所以$∠ COD=∠ BOC-∠ BOD=48°-α°$;
如答图,当OD在$∠ AOC$内部时,
因为$∠ BOD=α°$,$∠ BOC=48°$,
所以$∠ COD=∠ BOD-∠ BOC=α°-48°$.
第24题答图
②存在.
因为$∠ BOD=α°$,所以$∠ AOD=180°-α°$,
当OD在$∠ BOC$内部时,若$∠ AOD=4∠ COD$,
则$180-α=4(48-α)$,解得$α=4$,即$∠ BOD=4°$;
当OD在$∠ AOC$内部时,若$∠ AOD=4∠ COD$,则$180-α=4(α-48)$,解得$α=74.4$,即$∠ BOD=74.4°$.
综上,存在某个时刻满足$∠ AOD=4∠ COD$,此时$∠ BOD$的度数为$4°$或$74.4°$.
