26.(8分)综合与探究
问题情境
将一副三角尺按如图①所示位置摆放，三角尺ABC中，∠BAC=90°,∠B=∠C=45°；三角尺ADE中，∠E=90°,∠DAE=60°,∠D=30°,分别作∠BAE,∠CAD的平分线AM,AN.试求出∠MAN的度数.
初步探究
现将三角尺按照图②,图③所示的方式摆放,AM,AN仍然是∠BAE,∠CAD的平分线.在图②中AB与AD重合,在图③中AB,AE与AM重合.
(1)计算:图②中∠MAN的度数为
75
°,图③中∠MAN的度数为
75
°;
深入探究
(2)通过初步探究,请你猜想图①中∠MAN的度数;
类比拓展
(3)再将三角尺按照图④所示的方式摆放,AM,AN仍然是∠BAE,∠CAD的平分线.请你求出∠MAN的度数.
答案：(1)75 75
(2)解:$75°$,理由如下:
因为在题图①中,设$∠BAD=x$,因为$∠DAE=60°$,
所以$∠BAE=∠DAE-∠BAD=60°-x$。
因为AM平分$∠BAE$,
所以$∠BAM=\frac{1}{2}∠BAE=\frac{1}{2}(60°-x)=30°-\frac{1}{2}x$。
因为$∠BAD=x$,$∠BAC=90°$,
所以$∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-x$。
因为AN平分$∠CAD$,
所以$∠DAN=\frac{1}{2}∠CAD=\frac{1}{2}(90°-x)=45°-\frac{1}{2}x$。
因为$∠MAN=∠BAM+∠BAD+∠DAN$,
所以$∠MAN=30°-\frac{1}{2}x+x+45°-\frac{1}{2}x=75°$。
(3)解:设$∠BAD=x$,因为$∠DAE=60°$,所以$∠BAE=∠BAD+∠DAE=60°+x$。
因为AM平分$∠BAE$,
所以$∠EAM=\frac{1}{2}∠BAE=\frac{1}{2}(60°+x)=30°+\frac{1}{2}x$。
因为$∠BAC=90°$,所以$∠DAC=360°-90°-x=270°-x$。
因为AN平分$∠CAD$,
所以$∠DAN=\frac{1}{2}∠CAD=\frac{1}{2}(270°-x)=135°-\frac{1}{2}x$,
所以$∠NAE=135°-\frac{1}{2}x-60°=75°-\frac{1}{2}x$。
因为$∠MAN=∠NAE+∠EAM$,
所以$∠MAN=75°-\frac{1}{2}x+30°+\frac{1}{2}x=105°$。
