7.计算：
(1)$(a+2b-3c)^2$；
(2)$(2x-3y+z)(2x+3y-z)$；
(3)$(m+n+2)(m+n-2)-m(m+4n)$。
答案：7.解:(1)原式=$a^2 + 4b^2 + 9c^2 + 4ab - 6ac - 12bc.$
(2)原式=$[2x - (3y - z)][2x + (3y - z)] = 4x^2 - (3y - z)^2 = 4x^2 - (9y^2 - 6yz + z^2) = 4x^2 - 9y^2 + 6yz - z^2.$
(3)原式=$m^2 + 2mn + n^2 - 4 - m^2 - 4mn = n^2 - 2mn - 4.$
8.(1)已知$x^2+2y^2-2xy+4y+4=0$，求$x^2+y^2$的值；
(2)已知等腰三角形ABC的三边长分别为$a,b,c$，其中$a,b$满足$a^2+b^2+45=12a+6b$，求$△ ABC$的周长。
答案：8.解:(1)$x^2 + 2y^2 - 2xy + 4y + 4 = 0,$
$(x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 + 4y + 4) = 0,$
$(x - y)^2 + (y + 2)^2 = 0.$
$\because (x - y)^2 \ge 0,(y + 2)^2 \ge 0,\therefore x - y = 0,y + 2 = 0,$
$\therefore x = y = -2,\therefore x^2 + y^2 = 8.$
(2)$a^2 + b^2 + 45 = 12a + 6b,$
$(a^2 - 12a + 36) + (b^2 - 6b + 9) = 0,$
$(a - 6)^2 + (b - 3)^2 = 0.$
$\because (a - 6)^2 \ge 0,(b - 3)^2 \ge 0,\therefore a - 6 = 0,b - 3 = 0,$
$\therefore a = 6,b = 3. \because △ ABC$为等腰三角形,
$\therefore c = 6,\therefore △ ABC$的周长是15.
9.(2025·潍坊期末)通过学习,我们知道可以用图形的面积解释一些代数恒等式的正确性.
图①是一个长为2a,宽为2b的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形,然后按照图②的方式拼成一个大正方形.
(1)图②中,大正方形ABCD的边长为
a+b
,小正方形EFGH的边长为
a−b
,根据图②,可以用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式:
(a−b)²=(a+b)²−4ab或者(a+b)²=(a−b)²+4ab
.
(2)请利用(1)中的结论,解决下列问题:
①若$(a+b)^2=31,(a-b)^2=3$,求ab的值;
②若$(1-m)(2-m)=6$,求$(3-2m)^2$的值.
答案：9.(1)$a+b$ $a-b$ $(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$或者$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
(2)解:①由(1)得 $ab=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}.$
$\because (a+b)^2=31,(a-b)^2=3,\therefore ab=\frac{31-3}{4}=7.$
②设$a=1-m,b=2-m$,
则$a+b=3-2m,ab=6,a-b=-1$,
$\therefore (a+b)^2=(a-b)^2+4ab=(-1)^2+4×6=25$,
$\therefore (3-2m)^2=25.$
