3.(2025·崇明区期末)(1)如图①,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点P,如果∠A=70°,那么∠BPC=
$125°$
;
(2)如图②,作△ABC的外角∠MBC,∠NCB的平分线交于点Q,则∠Q,∠A之间的数量关系为
$∠ Q=90°-\frac{1}{2}∠ A$
;
(3)如图③,延长BP,QC交于点E,在△BQE中,存在一个内角等于另一个内角的4倍,求∠A的度数.
答案：3.(1)$125°$
(2)$∠ Q=90°-\frac{1}{2}∠ A$
(3)解:延长 BC 至点 F,如答图.
$\because CQ$ 为 $△ ABC$ 的外角 $∠ NCB$ 的平分线,
$\therefore CE$ 是 $△ ABC$ 的外角 $∠ ACF$ 的平分线,
$\therefore ∠ ACF=2∠ ECF.$
$\because BE$ 平分 $∠ ABC,\therefore ∠ ABC=2∠ EBC.$
$\because ∠ ECF=∠ EBC+∠ E,\therefore 2∠ ECF=2∠ EBC+2∠ E,$
即 $∠ ACF=∠ ABC+2∠ E,$
又 $\because ∠ ACF=∠ ABC+∠ A,\therefore ∠ A=2∠ E,$
即 $∠ E=\frac{1}{2}∠ A.$
$\because ∠ EBQ=∠ EBC+∠ CBQ=\frac{1}{2}∠ ABC+\frac{1}{2}∠ MBC=$
$\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ MBC)=\frac{1}{2}×180°=90°,$
如果在 $△ BQE$ 中,存在一个内角等于另一个内角的 4 倍,
那么分四种情况:
①$∠ EBQ=4∠ E=90°$,则$∠ E=22.5°$,
$\therefore ∠ A=2∠ E=45°.$
②$∠ EBQ=4∠ Q=90°$,则$∠ Q=22.5°,∠ E=67.5°$,
$\therefore ∠ A=2∠ E=135°.$
③$∠ Q=4∠ E$,则 $5∠ E=90°$,
$\therefore ∠ E=18°,\therefore ∠ A=2∠ E=36°.$
④$∠ E=4∠ Q$,则$∠ E=72°,\therefore ∠ A=2∠ E=144°.$
综上所述,$∠ A$ 的度数是 $45°$ 或 $135°$ 或 $36°$ 或 $144°$.
