1. 阅读教材第19页数学活动2,解决下列问题:
乐乐和数学社团的同学们研究多边形对角线的相关问题,邀请你也加入其中!请仔细观察下面的图形(如图)和表格,解答下列问题:
| 多边形的顶点数 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | … | $n$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 从一个顶点出发引出的对角线的条数 | 1 |
| 3 | 4 | 5 | … | ①
$n-3$
|
| 多边形对角线的总条数 | 2 | 5 | 9 | 14 | 20 | … | ②
$\frac{n(n-3)}{2}$
|
(1)用含$n$的代数式将表格填写完整.
(2)数学社团共分为6个小组,每组有3名同学.同学们约定,大年初一不同组的两名同学之间要打一个电话拜年,请问,按照此约定,数学社团的同学们一共将拨打多少个电话?
(3)乐乐认为(1)(2)之间存在某种联系,你能找到这两个问题之间的联系吗?请用语言描述你的发现.
答案：(1)从一个顶点出发引出的对角线的条数为$n-3$，多边形对角线的总条数为$\frac{n(n-3)}{2}$
(2)解:$3×6=18$(名),$\frac{1}{2}×18×(18-3)=135$(个).
答:数学社团的同学们一共将拨打 135 个电话.
(3)解:每个同学相当于多边形的一个顶点,则共有 $n$ 个顶点,每人要给不同组的同学打一个电话,则每人要打($n-3$)个电话,两人之间不需要重复拨打电话,故拨打电话的总数为$\frac{n}{2}(n-3)$,数学社团有 18 名同学,当 $n=18$时,$\frac{1}{2}×18×(18-3)=135$(个).
