9.(2025·达川区期末)如图，AB=20 cm，射线AM⊥AB于点A，射线BD⊥AB于点B，点P从点B向点A运动，速度为1 cm/s，点Q从点B向点D运动，速度为4 cm/s，点P，Q同时从点B出发，则经过
4或10
s后，在射线AM上有一点C，使△CAP与△PBQ全等。
答案：9.4或10
三、解答题(共55分)
10.(12分)如图,在$△ ABC$中,点D在边BC上,$CD=AB,DE// AB,∠ DCE=∠ A$.求证:
$DE=BC$.
答案：10.证明:$\because DE// AB,\therefore ∠ EDC=∠ B.$
在$△ CDE$和$△ ABC$中,$\begin{cases}∠ EDC=∠ B,\\CD=AB,\\∠ DCE=∠ A,\end{cases}$
$\therefore △ CDE≌△ ABC(\mathrm{ASA}),\therefore DE=BC.$
11.(13分)如图，AD=BD，CD=ED，∠1=∠2.
求证:(1)△ADE≌△BDC；
(2)∠3=∠1.
答案：11.证明:(1)$\because ∠ 1=∠ 2,\therefore ∠ 1+∠ BDE=∠ 2+∠ BDE,$
$\therefore ∠ ADE=∠ BDC.$
在$△ ADE$和$△ BDC$中,$\begin{cases}AD=BD,\\∠ ADE=∠ BDC,\\ED=CD,\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ BDC(\mathrm{SAS}).$
(2)设$AE$与$BD$相交于点$O$.
由(1)知$△ ADE≌△ BDC,\therefore ∠ DAE=∠ DBC.$
$\because ∠ DAE+∠ 1+∠ AOD=∠ DBC+∠ 3+∠ BOE=180°,∠ AOD=∠ BOE,\therefore ∠ 3=∠ 1.$
12.(15分)如图,在△ABC中,D为AB上一点,E为AC的中点,连接DE并延长至点F,使得CF//AB.
(1)求证:△AED≌△CEF;
(2)连接BE,若BE平分∠ABC,CA平分∠BCF,且∠ABE=25°,求∠A的度数.
答案：12.(1)证明:$\because E$为$AC$的中点,$\therefore AE=CE.$
$\because CF// AB,\therefore ∠ A=∠ ACF.$
在$△ AED$和$△ CEF$中,$\begin{cases}∠ A=∠ ECF,\\AE=CE,\\∠ AED=∠ CEF,\end{cases}$
$\therefore △ AED≌△ CEF(\mathrm{ASA}).$
(2)解:$\because BE$平分$∠ ABC,∠ ABE=25°,$
$\therefore ∠ ABC=2∠ ABE=50°.$
$\because CF// AB,\therefore ∠ ABC+∠ BCF=180°,$
$\therefore ∠ BCF=180°-∠ ABC=130°.$
$\because CA$平分$∠ BCF,\therefore ∠ ACF=\frac{1}{2}∠ BCF=65°,$
$\therefore ∠ A=65°.$
13.(15分)(2025·崇明区期末)如图,F,G为线段BC上两点,FE⊥BC于点F,GD⊥BC于点G,连接BD,CE,∠B=∠C,BF=CG.
(1)如图①,求证:△BDG≌△CEF;
(2)如图②,设BD与CE相交于点O,连接BE,CD并延长相交于点A,请直接写出图中所有的全等三角形.
答案：13.(1)证明:$\because FE⊥ BC,GD⊥ BC,\therefore ∠ CFE=∠ BGD=90°.$
$\because BF=CG,\therefore BF+FG=FG+CG,$即$BG=CF.$
在$△ BDG$和$△ CEF$中,$\begin{cases}∠ B=∠ C,\\BG=CF,\\∠ BGD=∠ CFE,\end{cases}$
$\therefore △ BDG≌△ CEF(\mathrm{ASA}).$
(2)解:题图②中的全等三角形有$△ BEF≌△ CDG,$
$△ BDG≌△ CEF,△ BCE≌△ CBD,△ BOE≌△ COD,$
$△ BAD≌△ CAE.$
