答案：
证明:(1)如答图,过点D作DE⊥AB,交BA的延长线于点E.
∵BD平分∠ABC,DH⊥BC,
∴DH=DE.
在Rt△ADE和Rt△CDH中,
$\begin{cases} DA=DC, \\ DE=DH, \end{cases}$
∴Rt△ADE≌Rt△CDH(HL),
∴∠C=∠DAE.
∵∠DAB+∠DAE=180°,
∴∠DAB+∠C=180°.
(2)在Rt△BDE和Rt△BDH中,
$\begin{cases} BD=BD, \\ DE=DH, \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△BDH(HL),
∴BE=BH.
由(1)知Rt△ADE≌Rt△CDH,
∴AE=CH,
∴AB+BC=AB+BH+CH=BE+BH=2BH,
∴BH=$\frac{1}{2}$(AB+BC).
第5题答图

答案：
(1)证明:
∵∠ACB=∠DCE,
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,
即∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
$\begin{cases} CA=CB, \\ ∠ACD=∠BCE, \\ CD=CE, \end{cases}$
∴△ACD≌△BCE(SAS).
(2)解:如答图,设BC与AD交于点O.
∵△ACD≌△BCE,
∴∠CAD=∠CBE.
∵∠CAD+∠AOC+∠ACB = ∠CBE+∠BOH + ∠AHB=180°,∠AOC=∠BOH,
∴∠AHB=∠ACB=α.
第6题答图
(3)证明:如答图,过点C作CM⊥AD于点M,CN⊥BE于点N,
由(1)知△ACD≌△BCE,
∴AD=BE,$S_{△ACD}=S_{△BCE}$,
∵$S_{△ACD}=\frac{1}{2}AD·CM$,$S_{△BCE}=\frac{1}{2}BE·CN$,
∴CM=CN,
∴HC平分∠AHE.