8. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，以点$A$为圆心，适当长为半径画弧，分别交$AB$，$AC$于点$D$，$E$，再分别以点$D$，$E$为圆心，大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径画弧，两弧交于点$F$，作射线$AF$交边$BC$于点$G$。若$BG=1$，$AC=4$，则$△ ACG$的面积是________。
答案：8.2
9.如图,在$△ ABC$和$△ CDE$中,$∠ ACB=∠ DCE=90°$,$AC=BC$,$CD=CE$.连接$BD$,$AE$,交于点$F$,连接$CF$.有下列四个结论:①$BD=AE$;②$BD⊥ AE$;③$∠ AEC+∠ DBC=45°$;④$FC$平分$∠ BFE$.其中正确的是________.(填序号)
答案：9.①②④
三、解答题(共50分)
10.(25分)(2025·雁塔区月考)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
(1)求证:BE=CF;
(2)如果AB=5,AC=3,求AE,BE的长.
答案：10.(1)证明:连接BD,CD,如答图.
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°.
∵DG⊥BC且平分BC,
∴BD=CD.
在Rt△BED与Rt△CFD中,$\begin{cases} BD=CD, \\ DE=DF, \end{cases}$
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),
∴BE=CF.
(2)解:
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
在△AED和△AFD中,$\begin{cases} ∠AED=∠AFD=90°, \\ ∠EAD=∠FAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴△AED≌△AFD(AAS),
∴AE=AF.
设BE=x,则CF=x,
∵AB=5,AC=3,AE=AB-BE,AF=AC+CF,
∴5-x=3+x,解得x=1,
∴BE=1,AE=AB-BE=5-1=4.
11.(25分)(2025·临渭区期末)【问题情境】
将$Rt△ ABC$和$Rt△ DBE$按如图所示的位置摆放，$∠ ABC=∠ DBE=90°$，已知$∠ BAC+∠ DEB=90°$，$AB=DB$.
【问题探究】
(1)如图①，求证：$△ ABC≌△ DBE$；
(2)如图②，连接$AE$交$BD$于点$F$，且$AF=EF$，过点$A$作$AM⊥ BD$于点$M$，连接$CD$，判断$CD$与$BF$之间的数量关系，并说明理由.
答案：11.(1)证明:
∵∠ABC=90°,
∴∠BAC+∠ACB=90°.
∵∠BAC+∠DEB=90°,
∴∠ACB=∠DEB.
在△ABC和△DBE中,$\begin{cases} ∠ACB=∠DEB, \\ ∠ABC=∠DBE, \\ AB=DB, \end{cases}$
∴△ABC≌△DBE(AAS).
(2)解:CD=2BF.
理由:由(1)知△ABC≌△DBE,
∴BC=BE.
∵AM⊥BD,∠DBE=90°,
∴∠AMF=∠DBE=90°.
在△AFM和△EFB中,$\begin{cases} ∠AMF=∠EBF, \\ ∠AFM=∠EFB, \\ AF=EF, \end{cases}$
∴△AFM≌△EFB(AAS),
∴AM=BE=BC,BF=FM,
∴BM=BF+FM=2BF.
∵∠DBC+∠ABF=90°,∠ABF+∠BAM=90°,
∴∠DBC=∠BAM.
∵AB=BD,
∴△ABM≌△BDC(SAS),
∴CD=BM=2BF.
