7.(2024·天河区期中)如图,在一个池塘两旁有一条笔直小路(B,C为小路端点)和一棵小树(A为小树位置).测得的相关数据为:∠ABC=60°,∠ACB=60°,BC=48米,则AC=
48
米.
答案：7.48
8.(2024·黄浦区月考)如图，$△ ABC$是等边三角形，D是BC边上任意一点，$DE⊥ AB$于点E，$DF⊥ AC$于点F.若$BC=4$，则$BE+CF=$
2
.
答案：8.2
9.已知△ABC是等边三角形，D是边AB上一点，E是CB延长线上一点，DC=DE.
(1)如图①，若D是AB的中点，求证：BE=AD；
(2)如图②，若D是AB上任意一点(不与点A，B重合)，BE=AD还成立吗？请说明理由.
答案：9.(1)证明:
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°,AC=BC.
∵D是AB的中点，
∴∠CDB=90°,∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°.
∵DC=DE,
∴∠E=∠DCB=30°.
∵∠EDB=∠ABC-∠E=30°,
∴∠EDB=∠E=30°,
∴BE=BD.
∵BD=AD,
∴BE=AD.
(2)解:BE=AD还成立.理由如下:
过点D作DF//CB,交AC于点F,如答图.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,
∴∠ABE=180°-∠ABC=120°.
∵DF//BC，
∴∠ADF=∠ABC=60°,∠AFD=∠ACB=60°,
∴∠CFD=180°-∠AFD=120°,
∴∠ABE=∠CFD=120°.
∵∠A=∠ADF=∠AFD=60°,
∴△ADF是等边三角形,
∴AD=DF.
∵DE=DC,
∴∠E=∠DCE.
∵DF//BC,
∴∠DCB=∠FDC,
∴∠E=∠FDC,
∴△DBE≌△CFD(AAS),
∴BE=DF,
∴BE=AD.
10.(2025·薛城区月考)如图，△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P,Q同时从A,B两点出发，分别沿AB,BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P,Q两点都停止运动，设运动时间为t s.
(1)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由.
(2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由.
答案：10.解:(1)当点Q到达点C时,PQ与AB垂直,即△BPQ为直角三角形.理由如下:
∵AB=AC=BC=6 cm，
∴当点Q到达点C时,t=6÷2=3(s),
∴BP=3 cm,
∴P为AB的中点,
∴QP⊥BA.
(2)假设在点P与点Q的运动过程中,△BPQ能成为等边三角形，
∴BP=PQ=BQ，
由题意,得AP=t cm,BP=(6−t)cm,BQ=2t cm,
∴6−t=2t,解得t=2.
∴当t=2时,△BPQ是等边三角形.
11. $△ ABC$为等边三角形，$D$为射线$BC$上一点，$∠ ADE=60°$，$DE$与$△ ABC$的外角平分线交于点$E$.
(1)如图①，若点$D$在边$BC$上，求证：$CA=CD+CE$；
(2)如图②，若点$D$在边$BC$的延长线上，写出$CA,CD,CE$之间的数量关系并证明.
答案：11.(1)证明:如答图①,在CA上截取CM=CD,连接DM.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°.
∵CM=CD,
∴△CDM是等边三角形，
∴MD=CD=CM,∠CMD=∠CDM=60°,
∴∠AMD=120°.
∵∠ADE=60°,
∴∠ADE=∠MDC，
∴∠ADM=∠EDC.
∵DE与△ABC的外角平分线交于点E，
∴∠ACE=60°,
∴∠DCE=120°=∠AMD.
在△ADM和△EDC中,$\begin{cases} ∠ADM=∠EDC,\\ MD=CD,\\ ∠AMD=∠ECD, \end{cases}$
∴△ADM≌△EDC(ASA),
∴AM=CE,
∴CA=CM+AM=CD+CE.
(2)解:CA=CE−CD.证明如下:
如答图②,在AC的延长线上截取CM=CD,连接DM.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∴∠DCM=60°,又CM=CD,
∴△CDM是等边三角形，
∴MD=CD=CM,∠CMD=∠CDM=60°.
∵DE与△ABC的外角平分线交于点E，
∴∠ACE=∠DCE=60°,
∴∠ECD=∠AMD.
∵∠ADE=60°,
∴∠ADE=∠CDM，
∴∠ADM=∠EDC.
在△ADM和△EDC中,$\begin{cases} ∠ADM=∠EDC,\\ MD=CD,\\ ∠AMD=∠ECD, \end{cases}$
∴△ADM≌△EDC(ASA),
∴AM=EC,
∴CA=AM−CM=CE−CD.
