答案：
(1)证明:如答图①,连接 DF.

第5题答图
∵DE=EF,∠DEF=60°,
∴△DEF 是等边三角形,
∴DF=EF.
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠A=∠C=60°.
∵∠AFE=∠DFE+∠AFD=60°+∠AFD,∠AFE=∠C+∠FEC=60°+∠FEC,
∴∠AFD=∠FEC. 又∠A=∠C,DF=FE,
∴△ADF≌△CFE(AAS),
∴AD=CF.
(2)解:如答图②,延长 MO 到点 G,使 OG=OM,连接 NG,BG,NM,作∠ACQ=∠ABN,且使 CQ=BN,连接 MQ,AQ.
∵MO⊥NO,OM=OG,
∴NG=MN.
∵O 是 BC 的中点,
∴OB=OC.
∵MO=OG,∠MOC=∠BOG,
∴△BOG≌△COM(SAS),
∴BG=CM,∠GBO=∠OCM,
∴BG//CM,
∴∠NBG=180°-∠BHC=60°.
∵∠BHC=120°,
∴∠HBC+∠HCB=60°.
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,
∴∠ABH+∠HBC=60°,∠ACH+∠HCB=60°,
∴∠ABH=∠HCB,∠HBC=∠ACH.
∵∠ACQ=∠ABN,AB=AC,BN=CQ,
∴△ACQ≌△ABN(SAS),
∴AN=AQ,∠BAN=∠CAQ.
∵∠ACB=∠ACH+∠BCH=60°,∠ABN=∠BCH=∠ACQ,
∴∠MCQ=∠ACM+∠ACQ=∠ACH+∠BCH=60°=∠NBG,又 BN=CQ,BG=CM,
∴△BNG≌△CQM(SAS),
∴NG=MQ.
∵NG=NM,
∴MQ=MN.
∵AN=AQ,AM=AM,
∴△NAM≌△QAM(SSS),
∴∠NAM=∠MAQ=∠CAM+∠CAQ=∠CAM+∠BAN.
∵∠NAM+∠CAM+∠BAN=60°,
∴∠CAM+∠BAN=30°.
∵∠CAM=α,
∴∠BAN=30°-α.

答案：
解:(1)
∵等边△ABC 的边长为 6,AD 是中线,DE=3,
∴∠ABD=60°,AD⊥BC,BD=1/2 BC=3,
∴BD=DE=3,
∴△BDE 是等腰直角三角形,
∴∠EBD=45°,
∴∠ABE=∠ABD-∠EBD=15°.
(2)①CF⊥AC. 理由如下:
∵△ABC 是等边三角形,AD 是中线,
∴∠BAD=30°,∠ACB=∠ABC=60°.
∵△ABC,△BEF 是等边三角形,
∴∠ABC=∠EBF=60°,BE=BF,AB=BC.
∵∠ABE+∠EBD=60°,∠CBF+∠EBD=60°,
∴∠ABE=∠CBF.
在△ABE 和△CBF 中,{BE=BF,
∠ABE=∠CBF,
AB=CB,
∴△ABE≌△CBF(SAS),
∴∠BCF=∠BAD=30°,
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=90°,
∴CF⊥AC.
②如答图①,过点 F 作 FH⊥BC 于点 H.

第6题答图
由①知△ABE≌△CBF,
∴CF=AE=2,∠BCF=30°,
∴FH=1/2 CF=1,
∴点 F 到边 BC 的距离为 1.
(3)∠DBE=30°. 理由如下:
如答图③,连接 CF,作点 D 关于 CF 对称的点 G,连接 CG,DG,FG,则 DF=FG.
当 B,F,G 三点共线时,BF+DF 的最小值为 BG 的长,此时△BDF 的周长最小.
由(2)知,∠BCF=30°,则∠DCG=60°.
∵∠BFE=60°,
∴∠DFG=120°,
∴∠FDC=∠FGC=1/2(360°-∠DFG-∠DCG)=90°,
∴∠CBF=90°-60°=30°,
∴∠DBE=60°-∠CBF=30°.