8.(2025·奉贤区期中)在$△ ABC$中，AD为边BC上的高，$∠ ABC=40°$，$∠ CAD=30°$，则$∠ BAC=$
20°或80°
。
答案：8.20°或80°
9.(2024·泰州期中)若三角形中一个内角的度数是另一个内角度数的2倍,我们把这样的三角形称为“和谐三角形”.已知直角△ABC是“和谐三角形”,则该三角形两个锐角的度数分别为
45°,45°或30°,60°
.
答案：9.45°,45°或30°,60°
10.(2025·沙坪坝区期末)如图，AD，BE分别是△ABC的高线和角平分线，相交于点F，且∠AEF=∠AFE.
(1)求证:AB⊥AC;
(2)若∠AEF=2∠ABC，求∠C的度数.
答案：10.(1)证明:
∵BE是角平分线,
∴∠ABE=∠CBE=1/2∠ABC.
又
∵AD是△ABC的高线,
∴∠ADB=90°,
∴∠CBE+∠BFD=90°.
又
∵∠BFD=∠AFE=∠AEF,
∴∠ABE+∠AEB=90°,
∴∠BAE=90°,即AB⊥AC.
(2)解:
∵∠AEF=2∠ABC,∠ABE=1/2∠ABC,
∴∠AEF=4∠ABE.
由(1)知∠BAC=90°,
∴∠ABE+∠AEB=90°,
∴∠ABE+4∠ABE=90°,即5∠ABE=90°,
∴∠ABE=∠CBE=18°,
∴∠ABC=36°,
∴∠C=90°−36°=54°.
11.(2025·通州区期末)已知$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，$D$是边$AB$上一点(不与点$A,B$重合).
(1)如图①，若$CD$是$△ ACB$的高，$CE$是$△ ACD$的角平分线.求证：$∠ BEC=∠ BCE$.
(2)如图②，若$CP⊥ CD$，$∠ ACP＜90°$，$∠ ADC$与$∠ ACP$的平分线相交于点$Q$.
①依题意补全图形；
②试用等式表示$∠ Q$与$∠ A$之间的数量关系，并证明.
答案：11.(1)证明:
∵CD是△ACB的高,
∴∠ADC=90°,
∴∠A+∠ACD=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠BCD+∠ACD=90°,
∴∠A=∠BCD.
∵CE是△ACD的角平分线,
∴∠ACE=∠DCE.
∵∠BEC=∠A+∠ACE,
∠BCE=∠BCD+∠DCE,
∴∠BEC=∠BCE.
(2)解:①如答图.
②∠Q=45°+1/2∠A.
证明:设∠ACQ=x,∠QDC=y.
∵CQ平分∠ACP,
∴∠ACP=2∠ACQ=2x.
∵CP⊥CD,
∴∠DCP=90°,
∴∠ACD=90°−∠ACP=90°−2x,
∴∠DCQ=∠PCD−∠PCQ=90°−x.
∵DQ平分∠ADC,
∴∠ADC=2∠QDC=2y.
在△ADC中,∠A=180°−∠ADC−∠ACD=180°−2y−(90°−2x)=90°+2(x−y),
在△QDC中,∠Q=180°−∠QDC−∠DCQ=180°−y−(90°−x)=90°+(x−y),
∴x−y=∠A−∠Q,
∴∠Q=90°+(∠A−∠Q),
∴∠Q=45°+1/2∠A.
