【分析】
本题属于共顶点双等腰三角形（手拉手）模型的几何题，解题思路如下：(1) 对于(1)的两个小问，先利用等边三角形三边相等、内角为60°的性质，通过角的和差得到△ECA和△DCB的夹角相等，用SAS判定两三角形全等，再结合全等三角形的性质和等边三角形内角求∠AEC，同时直接得到AE=BD的结论。(2) 类比第一问的思路，先利用等腰直角三角形边相等、底角为45°的性质，同样证明△ECA≌△DCB，得到对应角相等后计算∠AEB；再根据等腰直角三角形斜边上的高的性质，得到CM与DE上线段的等量关系，最后通过线段和差推导CM、AE、BM的数量关系。
【解析】
(1)①解：
∵△ABC和△EDC都是等边三角形，
∴∠ECD=∠ACB=60°，CE=CD，CA=CB。
∵∠ECD-∠ACD=∠ECA，∠ACB-∠ACD=∠DCB，
∴∠ECA=∠DCB。
在△ECA和△DCB中，
$\begin{cases} CE=CD, \\ ∠ECA=∠DCB, \\ CA=CB, \end{cases}$
∴△ECA≌△DCB(SAS)，
∴∠AEC=∠BDC=180°-∠EDC=180°-60°=120°。
②证明：由①知△ECA≌△DCB，
∴AE=BD。
(2)解：∠AEB=90°，CM+AE=BM，理由如下：
∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴AC=BC，EC=DC，∠CDE=∠CED=45°，
∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，即∠ACE=∠BCD，
∴∠CDB=180°-∠CDE=135°。
在△ECA和△DCB中，
$\begin{cases} EC=DC, \\ ∠ACE=∠BCD, \\ AC=BC, \end{cases}$
∴△ECA≌△DCB(SAS)，
∴∠CEA=∠CDB=135°，AE=BD。
∴∠AEB=∠CEA-∠CEB=135°-45°=90°。
∵△DCE是等腰直角三角形，CM为△EDC中DE边上的高，
∴CM垂直平分DE，CM=EM=MD。
∴BM=MD+DB=CM+AE。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{∠AEC=120°}$；②$AE=BD$，证明成立。
(2)$\boldsymbol{∠AEB=90°}$，线段数量关系为$\boldsymbol{CM+AE=BM}$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是共顶点双等腰（手拉手）模型的典型考题，解题核心是利用两个等腰三角形的等边角，通过角的和差构造全等三角形，进而推导角的度数与线段关系，该模型在几何综合题中应用广泛，掌握其解题规律可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 证明线段相等通常优先证明线段所在的三角形全等。本题中BD、CE分别在△BAD和△CAE中，已知两组对应边相等，只需证明夹角相等：由∠BAC=∠DAE，同时减去公共角∠CAD即可得到∠BAD=∠CAE，满足SAS全等判定条件，证得全等后即可推出BD=CE。
(2) 借助第(1)问的全等结论可得∠ACE=∠ABD=90°，即AC垂直DE。首先用HL证明Rt△ABD≌Rt△ACD，得BD=CD，再结合AD=AE，根据等腰三角形三线合一的性质，可知C为DE中点，即可求出DE的长度。
(3) 要判断DF与EF的数量关系，可通过构造直角三角形全等证明：分别过D、E作BC所在直线的垂线，首先利用之前的全等结论得BD=CE，再结合AB=AC推导得到∠DBI=∠ECK，证明△DBI≌△ECK得DI=EK，再证明△DIF与△EKF全等，即可得到DF=EF。
【解析】
(1)证明:
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,
∴∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE.
(2)解:由(1)得△BAD≌△CAE,
∴∠ABD=∠ACE.
∵DB⊥AB,
∴∠ACE=∠ABD=90°,
∴∠ACD=90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中,$\begin{cases} AD=AD, \\ AB=AC, \end{cases}$
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL),
∴BD=CD=3.
∵AD=AE,AC⊥DE,
∴CD=CE=3,
∴DE=2CD=6.
(3)解:DF=EF.理由如下:
如答图,作DI⊥BC于点I,EK⊥BC交BC的延长线于点K,则∠DIF=∠BID=∠EKC=90°,
由(1)得△BAD≌△CAE,
∴BD=CE.

∵DB⊥AB,
∴∠ACE=∠ABD=90°,
∴∠DBI+∠ABC=90°,∠ECK+∠ACB=90°.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠DBI=∠ECK.
在△DBI和△ECK中,$\begin{cases} ∠BID=∠CKE, \\ ∠DBI=∠ECK, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴△DBI≌△ECK(AAS),
∴DI=EK.
在△DIF和△EKF中,$\begin{cases} ∠DIF=∠EKF, \\ ∠DFI=∠EFK, \\ DI=EK, \end{cases}$
∴△DIF≌△EKF(AAS),
∴DF=EF.
【答案】
(1) BD=CE，证明见解析；
(2) $DE=6$；
(3) $DF=EF$，理由见解析。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰三角形的性质
3. 直角三角形全等判定
【点评】
本题是共顶点双等腰（手拉手）全等模型的典型习题，三小问层层递进，前一问的结论可作为后一问的推导依据，既考查了全等三角形、等腰三角形的基础知识点，也考查了辅助线构造、逻辑推理的综合应用能力。
【难度系数】
0.6