【分析】
观察已知方程中含$x^2+\frac{1}{x^2}$和$x+\frac{1}{x}$，结合完全平方公式可知$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2$，因此可先将原方程变形为关于$x+\frac{1}{x}$的一元二次方程，求解后根据$x＞0$的条件舍去不符合的解；再利用完全平方公式将待求式$(x-\frac{1}{x})^2$转化为含$x+\frac{1}{x}$的形式，代入求值即可。
【解析】
解：已知$x^2+\frac{1}{x^2}-2(x+\frac{1}{x})-1=0$，
由完全平方公式得$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2$，代入原方程得：
$(x+\frac{1}{x})^2-2 - 2(x+\frac{1}{x}) -1=0$
整理得：$(x+\frac{1}{x})^2-2(x+\frac{1}{x})-3=0$
因式分解得：$(x+\frac{1}{x}-3)(x+\frac{1}{x}+1)=0$
解得：$x+\frac{1}{x}=3$或$x+\frac{1}{x}=-1$
$\because x＞0$，$\therefore \frac{1}{x}＞0$，$\therefore x+\frac{1}{x}＞0$，故舍去$x+\frac{1}{x}=-1$，得$x+\frac{1}{x}=3$
又$\because (x-\frac{1}{x})^2=x^2-2· x· \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 - 4$
将$x+\frac{1}{x}=3$代入得：$(x-\frac{1}{x})^2=3^2 - 4=9-4=5$
【答案】
$\boxed{5}$
【知识点】
完全平方公式，因式分解解方程，分式取值范围
【点评】
本题是典型的“$x\pm\frac{1}{x}$”型代数式变形问题，核心是利用完全平方公式实现不同形式代数式的整体转化，解题时需注意结合给定的x的取值范围对解进行筛选，避免出现增解。
【难度系数】
0.6

【分析】
首先根据已知等式$a^2-3a+1=0$可判断$a≠0$（若$a=0$，等式左边为1，不成立），因此可将等式两边同时除以$a$，得到$a+\frac{1}{a}=3$。后续三个所求式子均为“$a^n+\frac{1}{a^n}$”或差的形式，可利用完全平方公式的恒等变形，将所求式子转化为含已知$a+\frac{1}{a}$或前一问结果的形式，代入数值即可计算。其中第二问求$a-\frac{1}{a}$时，要注意平方后开方需考虑正负两种情况。
【解析】
解：由$a^2-3a+1=0$可知$a≠0$，将等式两边同时除以$a$，得：
$a - 3 + \frac{1}{a}=0$，即$\boldsymbol{a+\frac{1}{a}=3}$。
(1) 根据完全平方公式变形可得：
$a^2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})^2 - 2· a· \frac{1}{a}$
将$a+\frac{1}{a}=3$代入，得：
原式$=3^2 -2=9-2=7$
(2) 先计算$(a-\frac{1}{a})^2$，由完全平方公式变形：
$(a-\frac{1}{a})^2=(a+\frac{1}{a})^2 - 4· a· \frac{1}{a}$
代入$a+\frac{1}{a}=3$，得：
$(a-\frac{1}{a})^2=3^2 -4=9-4=5$
开平方得：$a-\frac{1}{a}=\pm\sqrt{5}$
(3) $a^4+\frac{1}{a^4}$可变形为$(a^2+\frac{1}{a^2})^2 - 2· a^2· \frac{1}{a^2}$
将(1)中求得的$a^2+\frac{1}{a^2}=7$代入，得：
原式$=7^2 -2=49-2=47$
【答案】
(1) $\boxed{7}$；(2) $\boxed{\pm\sqrt{5}}$；(3) $\boxed{47}$
【知识点】
完全平方公式变形，分式基本性质，代数式求值
【点评】
本题核心是利用完全平方公式的恒等变形求解特殊形式的代数式值，解题关键是先从已知条件推导得到$a+\frac{1}{a}$这个基础值，再根据式子结构逐步推导高次代数式的值，需注意开平方时正负性的考虑，避免漏解。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 观察给出的示例方程，均满足“x加x的倒数等于m加m的倒数”的形式，对应的解为m和$\frac{1}{m}$，据此猜想方程的解，再根据方程解的概念，将猜想的解代入方程左右两边，验证两边是否相等即可。
(2) ① 先将等式右边的$\frac{65}{8}$拆分为$8+\frac{1}{8}$，把$y^3$看作整体，直接套用(1)的结论求出$y^3$的值，再计算y即可。
② 原方程左边不符合$x+\frac{1}{x}$的形式，因此用换元法，设$4x-8=t$，将x用含t的式子表示后代入原方程，通过分式化简整理为“两个互为倒数的式子相加”的形式，再套用(1)的结论求t，最后还原为x的方程求解即可。
【解析】
(1) 猜想：关于$x$的方程$x+\frac{1}{x}=m+\frac{1}{m}$的解为$x_1=m$，$x_2=\frac{1}{m}$。
验证：当$x=m$时，左边$=m+\frac{1}{m}=$右边，因此$x=m$是该方程的解；
当$x=\frac{1}{m}$时，左边$=\frac{1}{m}+\frac{1}{\frac{1}{m}}=\frac{1}{m}+m=$右边，因此$x=\frac{1}{m}$是该方程的解。
(2) ① 原方程$y^3+\frac{1}{y^3}=\frac{65}{8}$可变形为$y^3+\frac{1}{y^3}=8+\frac{1}{8}$，
根据(1)的结论可得$y^3=8$或$y^3=\frac{1}{8}$，解得$y=2$或$y=\frac{1}{2}$，经检验均为原方程的解。
② 令$4x-8=t$，则$x=\frac{t+8}{4}$，代入原方程得：
$\frac{t+8}{4}+\frac{1}{t}=\frac{a^2+4a+1}{2a}$
整理得：$\frac{t}{4}+2+\frac{1}{t}=\frac{a}{2}+2+\frac{1}{2a}$，消去常数项后两边同乘2得：$\frac{t}{2}+\frac{2}{t}=a+\frac{1}{a}$
根据(1)的结论可得$\frac{t}{2}=a$或$\frac{t}{2}=\frac{1}{a}$，即$t=2a$或$t=\frac{2}{a}$
将$t=4x-8$代回：
当$4x-8=2a$时，解得$x=\frac{a+4}{2}$；当$4x-8=\frac{2}{a}$时，解得$x=2+\frac{1}{2a}$，经检验均为原方程的解。
【答案】
(1) 解为$x_1=m$，$x_2=\frac{1}{m}$；
(2) ① $y_1=2$，$y_2=\frac{1}{2}$；② $x_1=\frac{a+4}{2}$，$x_2=2+\frac{1}{2a}$
【知识点】
分式方程解的概念、换元法、分式化简
【点评】
本题属于规律探究类分式方程问题，考查了从特殊到一般的数学思想，以及换元转化的解题技巧，需要先总结$x+\frac{1}{x}=m+\frac{1}{m}$型方程的解的规律，再通过变形将复杂方程转化为该类型求解，解题时注意分式方程需要检验根是否符合题意。
【难度系数】
0.6