1.(2025·槐荫区三模)宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏.某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍.
(1)求甲、乙两种点茶器具套装的单价；
(2)某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？
答案：1.解:(1)设甲种点茶器具套装的单价是x元,则乙种点茶器具套装的单价是(x+30)元,
根据题意,得$\frac{2220}{x}=\frac{1780}{x+30}×1.5$,
方程两边乘$x(x+30)$,得$2220(x+30)=1780×1.5x$,
解得$x=148$,
检验:当$x=148$时,$x(x+30)≠0$,
所以原分式方程的解为$x=148$,
所以$x+30=178$.
答:甲种点茶器具套装的单价是148元,乙种点茶器具套装的单价是178元.
(2)设学校购进乙种点茶器具套装m套,则购进甲种点茶器具套装$(30-m)$套,
根据题意,得$148(30-m)+178m≤5000$,
解得$m≤18\frac{2}{3}$,
∴m的最大值为18.
答:学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套.
解析：
【分析】
(1) 第一问属于分式方程的实际应用，首先明确两个核心关系：一是乙种套装单价比甲种多30元，二是2220元购买甲的数量是1780元购买乙数量的1.5倍。我们可以设甲的单价为x元，用x表示出乙的单价，再根据“数量=总价÷单价”分别表示出两种购买方式的数量，结合数量关系列分式方程求解，注意分式方程求出解后必须检验，排除增根。
(2) 第二问属于一元一次不等式的实际应用，核心不等关系是购买两种套装的总费用不超过5000元。设购进乙种套装m套，用m表示出甲的套数，结合第一问求出的单价表示总费用，列不等式求解，最后根据套装数量为正整数的实际要求，取m的最大整数值即可。
【解析】
(1) 设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是(x+30)元，
根据题意列方程得：
$\frac{2220}{x}=\frac{1780}{x+30}×1.5$
方程两边同乘$x(x+30)$去分母，得：
$2220(x+30)=1780×1.5x$
解得：$x=148$
检验：当$x=148$时，$x(x+30)≠0$，所以$x=148$是原分式方程的解，符合实际意义。
则乙种套装单价为$x+30=148+30=178$（元）。
(2) 设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装$(30-m)$套，
根据总经费不超过5000元列不等式得：
$148(30-m)+178m≤5000$
化简得：$30m≤560$
解得：$m≤18\frac{2}{3}$
∵m为套装数量，需取正整数，
∴m的最大值为18。
【答案】
(1) 甲种点茶器具套装单价为148元，乙种点茶器具套装单价为178元；
(2) 学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合传统茶文化的生活背景出题，考查学生用方程和不等式解决实际问题的能力，解题关键是准确梳理题目中的等量、不等关系，同时要注意分式方程必须验根，实际问题的解要符合现实意义。
【难度系数】
0.7
2.某商场计划购进甲、乙两种品牌的足球.已知一个甲种品牌足球的进价比一个乙种品牌足球的进价多65元,用28000元购进甲种品牌足球的数量与用15000元购进乙种品牌足球的数量相同.
(1)求甲、乙两种品牌足球的进价；
(2)商场决定同时购进甲、乙两种品牌的足球共100个,且总费用不低于10100元,请问最少能购进甲种品牌的足球多少个？
答案：2.解:(1)设乙种品牌足球的进价为a元/个,则甲种品牌足球的进价为$(a+65)$元/个,
根据题意,得$\frac{28000}{a+65}=\frac{15000}{a}$,
方程两边乘$a(a+65)$,得$28000a=15000(a+65)$,
解得$a=75$.
检验:当$a=75$时,$a(a+65)≠0$,
所以原分式方程的解为$a=75$,
所以$a+65=75+65=140$.
答:甲种品牌足球的进价为140元/个,乙种品牌足球的进价为75元/个.
(2)设购进甲种品牌的足球m个,则购进乙种品牌的足球$(100-m)$个,
根据题意,得$140m+75(100-m)≥10100$,
解得$m≥40$.
答:最少能购进甲种品牌的足球40个.
解析：
【分析】
(1) 要计算甲、乙两种品牌足球的进价，已知甲的进价比乙多65元，且28000元购进甲的数量与15000元购进乙的数量相等，可利用“数量=总价÷单价”的关系，设乙的进价为未知数，用含未知数的式子表示甲的进价，根据数量相等列分式方程求解，注意分式方程需要检验根是否有效。
(2) 要计算最少购进甲种足球的数量，已知两种足球总购进量为100个，总费用不低于10100元，可设购进甲种足球的数量为未知数，用总数量减去甲的数量表示乙的数量，根据总费用的不等关系列一元一次不等式，求解后取最小正整数解即可。
【解析】
(1) 设乙种品牌足球的进价为$a$元/个，则甲种品牌足球的进价为$(a+65)$元/个，
根据题意，得$\frac{28000}{a+65}=\frac{15000}{a}$，
方程两边乘$a(a+65)$，得$28000a=15000(a+65)$，
解得$a=75$。
检验：当$a=75$时，$a(a+65)≠0$，
所以原分式方程的解为$a=75$，
所以$a+65=75+65=140$。
答：甲种品牌足球的进价为140元/个，乙种品牌足球的进价为75元/个。
(2) 设购进甲种品牌的足球$m$个，则购进乙种品牌的足球$(100-m)$个，
根据题意，得$140m+75(100-m)≥10100$，
解得$m≥40$。
答：最少能购进甲种品牌的足球40个。
【答案】
(1) 甲种品牌足球进价为140元/个，乙种品牌足球进价为75元/个；
(2) 最少能购进甲种品牌的足球40个。
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 一元一次不等式的应用
3. 总价计算公式
【点评】
本题属于经济类实际应用题，解题核心是找准题目中的等量关系和不等关系，将实际问题转化为数学模型求解；解分式方程时需注意验根，求解不等式后要结合实际意义取符合要求的解，能够有效考察学生的数学建模和运算能力。
【难度系数】
0.7
