答案：解：
活动1
（1）计算给出的两个蓝色方框：
第一个方框的数为6、7、13、14：$6×14=84$，$7×13=91$，$91-84=7$；
第二个方框的数为16、17、23、24：$16×24=384$，$17×23=391$，$391-384=7$。
结论：2×2蓝色方框中4个数交叉相乘再相减，结果恒为7。
举例验证：选取方框数1、2、8、9，$2×8-1×9=16-9=7$；选取方框数21、22、28、29，$22×28-21×29=616-609=7$，均符合该规律。
（2）更换任意一个月的月历，选取任意2×2的相邻四个数验证，交叉相乘再相减的结果仍为7，存在同样的规律。
（3）证明：设2×2方框左上角的数为$n$，则右上角的数为$n+1$，左下角的数为$n+7$，右下角的数为$n+8$。
计算交叉乘积的差：
$\begin{aligned}(n+1)(n+7)-n(n+8)&=n^2+7n+n+7-n^2-8n\\&=7\end{aligned}$
因此该运算的结果恒为7，规律成立。
（4）其他规律：2×2方框中，对角两个数的和相等，即$n+(n+8)=(n+1)+(n+7)=2n+8$。
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活动2
（1）计算各组乘积：
① $30×30=900$，$35×25=875$，$43×17=731$，$52×8=416$；
② $50×50=2500$，$53×47=2491$，$74×26=1924$，$91×9=819$。
规律：两个数的和为定值时，两数的差越小，乘积越大；当两数相等时，乘积取得最大值。
（2）利用平方差公式解释：设两个数的和为定值$2a$，两数的差为$2b$，则两个数可表示为$a+b$和$a-b$，两数的乘积为：
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
由于$a$为定值，因此$b$越小，乘积$a^2-b^2$越大；当$b=0$时，两数都等于$a$，差为0，此时乘积取得最大值$a^2$。
（3）10m长的绳子围成长方形，长方形的长与宽的和为$10÷2=5\ \mathrm{m}$，为定值。
根据上述规律，当长和宽相等，即长=宽=2.5m时，面积最大，最大面积为$2.5×2.5=6.25\ \mathrm{m}^2$。
此时长方形的两条邻边长度相等，图形为正方形。
一般结论：周长固定的长方形，当它为正方形时，面积取得最大值。
答：长方形的最大面积是$6.25\ \mathrm{m}^2$，此时两条邻边长度相等，周长固定的长方形中正方形的面积最大。