例4 张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地. 张华在前半段路程的平均行走速度是$a\ \mathrm{km/h}$，在后半段路程的平均行走速度是$b\ \mathrm{km/h}$；李明全程的平均行走速度是$\dfrac{a+b}{2}\ \mathrm{km/h}.$ 如果$a\ne b$，两人谁先到达乙地？
解：设从甲地到乙地的路程为$s\ \mathrm{km}$，张华从甲地到乙地的时间（单位：$\mathrm{h}$）为

李明从甲地到乙地的时间（单位：$\mathrm{h}$）为

两人的时间差为
$\frac{(a+b)s}{2ab}-\frac{2s}{a+b}=\frac{(a+b)^2 s-4abs}{2ab(a+b)}=\frac{(a^2-2ab+b^2)s}{2ab(a+b)}=\frac{(a-b)^2 s}{2ab(a+b)},$
因为$s$，$a$，$b$均大于$0$，且$a\ne b$，所以$\dfrac{(a-b)^2 s}{2ab(a+b)}＞0$，即$\dfrac{(a+b)s}{2ab}＞\dfrac{2s}{a+b}.$
因此，李明先到达乙地.
先提出分子中的公因式$s$，再将括号里的多项式合并同类项.
若两人的时间差大于$0$，则李明先到达乙地；
若两人的时间差等于$0$，则两人同时到达乙地；
若两人的时间差小于$0$，则张华先到达乙地.