【分析】
解题思路可分为三步：1. 观察到A、B两点纵坐标相同，可知这两点是抛物线上的对称点，关于抛物线的对称轴对称；2. 结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，以及对称点横坐标的平均值等于对称轴横坐标，即可求出$x_1+x_2$的值；3. 将点$(x_1+x_2,m)$的横坐标代入抛物线解析式，计算即可得到$m$的值。
【解析】
解：$\because A(x_1,n)$，$B(x_2,n)$是抛物线$y=x^2+bx+4$上不同的两点，两点纵坐标相等，
$\therefore A$、$B$两点关于抛物线的对称轴对称。
抛物线$y=x^2+bx+4$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2×1}=-\frac{b}{2}$，
$\therefore$ 对称轴为A、B两点横坐标的中点，即$\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{b}{2}$，解得$x_1+x_2=-b$。
$\because$ 点$(x_1+x_2,m)$在抛物线上，即点$(-b,m)$在抛物线上，
将$x=-b$代入抛物线解析式得：
$m=(-b)^2 + b·(-b) + 4 = b^2 - b^2 + 4 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数对称轴公式；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题关键是利用抛物线上纵坐标相同的两点关于对称轴对称的性质求出横坐标之和，再代入解析式求解，熟练掌握二次函数基本性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8

【分析】
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可直接用交点式写出解析式，也可以将两点坐标代入一般式，解关于b、c的二元一次方程组求出系数，得到解析式；
(2) 求顶点坐标和对称轴，可通过配方法将一般式转化为顶点式，直接读取结果，也可以用顶点坐标公式、对称轴公式计算；
(3) 求给定区间的函数最值，先根据抛物线开口方向和对称轴判断区间内函数的增减性，再结合区间端点的函数值确定最大值。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线 $y=-x^2+bx+c$ 经过点 $A(3,0)$，$B(-1,0)$，
$\therefore$ 抛物线解析式可写为交点式 $y=-(x-3)(x+1)$，
展开得 $y=-x^2+2x+3$。
(2) 将解析式配方为顶点式：
$y=-x^2+2x+3=-(x^2-2x+1)+1+3=-(x-1)^2+4$，
$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为 $(1,4)$，对称轴为直线 $x=1$。
(3) $\because$ 抛物线 $y=-x^2+2x+3$ 中$a=-1＜0$，开口向下，对称轴为直线 $x=1$，
$\therefore$ 当 $x＞1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，
$\because$ 区间$2≤ x≤ 4$在对称轴右侧，
$\therefore$ 当 $x=2$ 时，函数 $y$ 有最大值，
代入计算得最大值为$-2^2+2×2+3=3$。
【答案】
(1) $y=-x^2+2x+3$
(2) 顶点坐标为$(1,4)$，对称轴为直线$x=1$
(3) 最大值为3，理由见解析
【知识点】
1. 求二次函数解析式
2. 二次函数的顶点与对称轴
3. 二次函数的区间最值
【点评】
本题是二次函数的基础常规题，围绕二次函数核心性质设题，熟练掌握解析式求解方法、顶点对称轴的求法以及增减性的应用即可顺利解题，属于二次函数部分的高频基础考点。
【难度系数】
0.8

【分析】
(1) 先将点A的坐标代入抛物线解析式求出参数a，得到完整的抛物线解析式，再分别将B、C两点坐标代入解析式，结合A点坐标排除重复解，即可得到b、c的值；
(2) 先计算A、B两点的距离AB，△ABP以AB为底，高为点P纵坐标的绝对值，根据面积公式列方程求出点P的纵坐标，再代入抛物线解析式求解横坐标，同时检验解是否符合要求；
(3) 本题属于将军饮马模型，点A与点B关于抛物线对称轴对称，因此PA=PB，PA+PC的最小值即为BC的长度，求出直线BC的解析式后，再求直线BC与抛物线对称轴的交点，即为所求点P。
【解析】
(1) 把$A(1,0)$代入$y=ax^2+2x-3$，可得：
$a+2-3=0$，解得$a=1$，
因此抛物线的解析式为$y=x^2+2x-3$。
把$B(b,0)$代入$y=x^2+2x-3$得：$b^2+2b-3=0$，解得$b=1$或$b=-3$，
又因为$A(1,0)$，所以$b=-3$；
把$C(0,c)$代入$y=x^2+2x-3$得：$c=0+0-3=-3$。
(2) 由$A(1,0)$、$B(-3,0)$可得$AB=1-(-3)=4$，
根据三角形面积公式：$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}AB×|y_P|$，代入已知面积得：
$10=\frac{1}{2}×4×|y_P|$，解得$|y_P|=5$，即$y_P=\pm5$。
当$y_P=5$时，$x^2+2x-3=5$，整理得$x^2+2x-8=0$，解得$x=2$或$x=-4$；
当$y_P=-5$时，$x^2+2x-3=-5$，整理得$x^2+2x+2=0$，$\Delta=4-8=-4＜0$，方程无实根，舍去。
因此点P的坐标为$(2,5)$或$(-4,5)$。
(3) 抛物线$y=x^2+2x-3$的对称轴为直线$x=-\frac{2}{2×1}=-1$。
由抛物线对称性可知，点A与点B关于对称轴$x=-1$对称，因此$PA=PB$，则$PA+PC=PB+PC$，当B、P、C三点共线时，$PB+PC$的值最小，即$PA+PC$最小。
设直线BC的解析式为$y=kx+m(k≠0)$，将$B(-3,0)$、$C(0,-3)$代入得：
$\begin{cases}0=-3k+m\\-3=m\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\m=-3\end{cases}$，因此直线BC的解析式为$y=-x-3$。
将$x=-1$代入$y=-x-3$得：$y=-(-1)-3=-2$，因此点P的坐标为$(-1,-2)$。
【答案】
(1)$b=-3$，$c=-3$；
(2)$P(2,5)$或$(-4,5)$；
(3)$P(-1,-2)$。

【知识点】
二次函数图象与性质，待定系数法求解析式，轴对称最短路径问题
【点评】
本题是二次函数基础综合题，依次考查了参数求解、面积计算及最短路径模型的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的基本性质，灵活运用将军饮马模型解决最短路径问题。
【难度系数】
0.7

【分析】
这是一道给定区间左端点未知的二次函数最值问题，解题思路如下：首先将二次函数解析式配方为顶点式，确定开口方向、对称轴和顶点坐标；①该函数开口向上，顶点处取最小值，题中最小值-4恰好是顶点的函数值，说明区间$[m,2]$必须包含对称轴$x=-1$，因此左端点$m≤-1$；②再求函数值为最大值5对应的x的取值，结合区间右端点已经是取到5的$x=2$，可知左端点m不能小于另一个取到5的$x=-4$，否则区间内会出现$x＜-4$的情况，此时函数值大于5，不符合最大值为5的要求，综合两个条件即可得到m的取值范围。
【解析】
首先对二次函数解析式配方：
$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$
∴该二次函数图象开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-4)$，即函数的最小值为-4。
∵当$m≤x≤2$时，函数的最小值为-4，
∴区间$[m,2]$需要包含对称轴$x=-1$，即$m≤-1$。
∵函数的最大值为5，令$y=5$，代入解析式得：
$(x+1)^2-4=5$
解得$x_1=-4$，$x_2=2$
要保证区间内函数最大值为5，左端点m不能小于-4，否则区间内存在$x＜-4$时$y＞5$，不符合要求，即$m≥-4$。
综上可得m的取值范围为$-4≤m≤-1$。
【答案】
$-4≤m≤-1$
【知识点】
二次函数的配方；二次函数的最值；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数区间最值的典型题型，需要结合函数的开口方向、对称轴分析区间与对称轴的位置关系，再结合端点的函数值确定参数范围，解题时运用数形结合的思路能更直观地判断区间边界。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题属于二次函数定轴动区间的最值问题，解题思路如下：第一步先将二次函数配方为顶点式，确定开口方向、对称轴及全局最小值；题目给出区间内最小值为6，大于函数全局最小值2，说明给定区间不包含对称轴，因此分两种情况讨论：①区间整体在对称轴右侧，此时函数在区间上单调递增，最小值在区间左端点；②区间整体在对称轴左侧，此时函数在区间上单调递减，最小值在区间右端点；分别令两处函数值等于6，求解a并验证是否符合区间位置条件即可。
【解析】
首先将二次函数配方得：$y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$，
由此可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,2)$，即函数的全局最小值为2。
当函数值为6时，列方程：
$x^2-2x+3=6$
整理得$x^2-2x-3=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=3$。
由于区间$a≤x≤a+2$内的最小值为6＞2，说明该区间不包含对称轴$x=1$，分两种情况讨论：
1. 若区间整体在对称轴右侧，即$a＞1$时，函数在区间内y随x的增大而增大，最小值在左端点$x=a$处取得，因此$a=3$，符合$a＞1$的条件；
2. 若区间整体在对称轴左侧，即$a+2＜1$（即$a＜-1$）时，函数在区间内y随x的增大而减小，最小值在右端点$x=a+2$处取得，因此$a+2=-1$，解得$a=-3$，符合$a＜-1$的条件。
综上，实数a的值为3或-3。
【答案】
3或-3
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数增减性；二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数定轴动区间求最值的典型题型，解题核心是先明确二次函数的开口方向与对称轴，再根据区间和对称轴的位置关系分类讨论，同时要对求出的参数值进行合理性验证，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题是二次函数含参数求最值的问题，首先明确二次函数的开口方向和对称轴：函数$y=0.5(x-m)^2 -0.5m^2 +1$为顶点式，开口向上，对称轴为直线$x=m$，给定自变量取值范围是$-2 ≤ x ≤ 1$。由于对称轴$x=m$是变动的，因此需要根据对称轴与取值区间的位置关系分三类讨论：①对称轴在区间内部；②对称轴在区间右侧；③对称轴在区间左侧。分别计算每一类情况下的最小值，令其等于0求解$m$，最后验证解是否符合对应分类的取值范围，不符合的舍去即可。
【解析】
已知二次函数$y=0.5(x-m)^2 -0.5m^2 +1$，开口向上，对称轴为直线$x=m$，分三种情况讨论：
1. 当$-2 ＜ m ≤ 1$时，对称轴在区间$[-2,1]$内部，此时函数在顶点$x=m$处取得最小值：
$y_{\mathrm{最小值}}=-0.5m^2 +1 = 0$
解得$m=\sqrt{2}$（$\sqrt{2}\approx1.414＞1$，不符合$-2 ＜ m ≤1$，舍去）或$m=-\sqrt{2}$（$-\sqrt{2}\approx-1.414$，符合区间要求，保留）。
2. 当$m＞1$时，对称轴在区间$[-2,1]$右侧，函数在区间内随$x$的增大而减小，因此在$x=1$处取得最小值：
$y_{\mathrm{最小值}}=0.5(1-m)^2 -0.5m^2 +1 =0$
展开化简得：$0.5 - m +0.5m^2 -0.5m^2 +1 =0$，即$-m +1.5=0$，解得$m=1.5$，符合$m＞1$，保留。
3. 当$m ≤ -2$时，对称轴在区间$[-2,1]$左侧，函数在区间内随$x$的增大而增大，因此在$x=-2$处取得最小值：
$y_{\mathrm{最小值}}=0.5(-2-m)^2 -0.5m^2 +1 =0$
展开化简得：$2 + 2m +0.5m^2 -0.5m^2 +1 =0$，即$2m +3=0$，解得$m=-1.5$（$-1.5＞-2$，不符合$m ≤-2$，舍去）。
综上，满足条件的$m$为$1.5$或$-\sqrt{2}$。
【答案】
$1.5$或$-\sqrt{2}$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数最值求解；分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数含参最值的典型题型，核心是根据对称轴与给定自变量区间的位置关系分类讨论，解题过程中要注意对解得的参数值进行验证，排除不符合分类范围的增根。
【难度系数】
0.4