【分析】
解题时首先结合已知条件推导直角：AB是⊙O的直径，可得直径所对圆周角∠ACB为直角，再结合OD⊥AC、BC//OD，也可验证∠ACB=90°。第一步先在Rt△ABC中用勾股定理求出BC的长度；第二步根据垂径定理，OD垂直于弦AC且过圆心，可得D是AC中点，求出CD的长度；最后在Rt△BCD中用勾股定理即可算出BD的长度。
【解析】
∵ OD⊥AC，BC//OD，
∴ ∠ACB=∠ADO=90°，
在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，
∵ OD⊥AC，OD过圆心O，由垂径定理得D是AC中点，
∴ $CD=\frac{1}{2}AC=4$，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$，
故选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆周角定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础题，解题的关键是利用平行和垂直关系得到直角三角形，结合垂径定理得到对应线段长度，属于常考题型，计算量较小，容易得分。
【难度系数】
0.75

【分析】
要计算大圆弦AB的长度，我们可以利用垂径定理构造直角三角形求解：首先过圆心作弦AB的垂线，该垂线会同时平分AB和CD两条弦，将问题转化为直角三角形的边长计算。先利用小圆半径和CD的一半，通过勾股定理算出弦心距OE的长度，再用大圆半径和OE的长度算出AB的一半AE，最终得到AB的全长。
【解析】
解：如图，连接OA、OC，过点O作$OE ⊥ AB$于点E。
根据垂径定理可得：$CE=DE=\frac{1}{2}CD$，$AE=BE=\frac{1}{2}AB$，$∠ OEA=90°$。
由题意得：小圆半径$OC=5$，大圆半径$OA=\sqrt{34}$。
$\because CD=8$，$\therefore CE=\frac{1}{2}CD=4$。
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OC^2-CE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{(\sqrt{34})^2-3^2}=5$。
$\therefore AB=2AE=2×5=10$。
故选C。
【答案】
C

【知识点】
垂径定理；勾股定理；弦长计算
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，核心解题方法是作弦心距构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理求解，掌握弦心距这一常用辅助线的作法，就能快速解决此类问题。
【难度系数】
0.7

【分析】
遇到圆的折叠问题，首先结合折叠的对称性质分析边或角的等量关系：折叠后弧BC经过圆心O，说明圆心O到弦BC的距离等于半径的$\frac{1}{2}$。接下来作辅助线$OD⊥BC$，先根据直径AB的长度求出半径OB的长度，再在直角三角形OBD中利用直角三角形的边角关系求出BD的长度，最后根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦”，即可求出BC的长度。
【解析】
过点O作$OD ⊥ BC$于点D。
由折叠的性质可得，O到BC的距离$OD=\frac{1}{2}OB$。
∵AB是半圆的直径，$AB=6$，
∴半径$OB=\frac{1}{2}AB=3$，则$OD=\frac{3}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，$OD=\frac{1}{2}OB$，
∴$∠OBD=30°$，
由勾股定理得$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
∵OD过圆心，且$OD⊥BC$，根据垂径定理，OD平分BC，
∴$BC=2BD=2×\frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。
故选A。

【答案】
A
【知识点】
折叠的性质，垂径定理，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心是利用折叠的性质得到圆心到弦的距离与半径的关系，再结合垂径定理和直角三角形的性质求解，侧重考查基础几何定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
要确定OP的取值范围，需先找到OP的最大值和最小值：①当P与弦AB的端点A（或B）重合时，OP等于圆的半径，此时OP最长；②根据垂线段最短的性质，当OP垂直于AB时，OP的长度最短。因此解题时先求圆的半径得到OP的最大值，再作圆心到弦AB的垂线，结合垂径定理、勾股定理求出垂线段的长度即OP的最小值，最终得到OP的取值范围。
【解析】
如图，连接OA，过点O作$OM ⊥ AB$于M。
$\because \odot O$的直径为20，$\therefore$ 半径$OA=10$，当点P与A（或B）重合时，OP取得最大值，最大值为10。
$\because OM ⊥ AB$，$AB=16$，由垂径定理可得$AM=\frac{1}{2}AB=8$。
在$\mathrm{Rt}△ AOM$中，根据勾股定理：$OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，即OP的最小值为6。
因此OP长的取值范围是$6 \le OP \le 10$。

【答案】
$6 \le OP \le 10$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；垂线段最短
【点评】
本题属于圆的基础性质应用题，解题的核心是明确动点线段的最值对应的位置，结合圆的性质和直角三角形的计算即可得到结果，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题是圆中动态线段的取值范围问题，解题思路如下：第一步，看到弦的中点，联想到垂径定理，因此连接圆心O与E、F以及半径OA、OC，构造直角三角形；第二步，利用垂径定理得到OE垂直AB、OF垂直CD，结合已知的弦长和半径，用勾股定理求出OE、OF的长度，发现二者是定值；第三步，分析E、F的运动规律：E、F分别绕点O运动，根据三点共线的情况求最值：当E、O、F三点共线且O在E、F同侧时EF最短，当O在E、F之间时EF最长，即可得到EF的取值范围。
【解析】
如图，连接OE，OF，OA，OC，
$\because \odot O$的直径为10，$\therefore$半径$OA=OC=5$，
$\because$点E是AB的中点，根据垂径定理可得$OE ⊥ AB$，$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 6=3$，
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：$OE=\sqrt{OA^2 - AE^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$，
同理，点F是CD的中点，根据垂径定理可得$OF ⊥ CD$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2} × 8=4$，
在$Rt△ OCF$中，由勾股定理得：$OF=\sqrt{OC^2 - CF^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$，
当AB和CD平行，E、O、F三点共线时：
①若AB、CD位于点O的同侧，此时EF长度最短，最短为$OE - OF=4 - 3=1$；
②若AB、CD位于点O的异侧，此时EF长度最长，最长为$OE + OF=4 + 3=7$；
因此线段EF的长度的取值范围是$1 ≤ EF ≤ 7$。

【答案】
$1 ≤ EF ≤ 7$

【知识点】
垂径定理，勾股定理，动态线段最值
【点评】
本题是圆中常见的动态范围类题型，解题的核心是通过垂径定理将已知弦长转化为圆心到弦的定长距离，再结合三点共线的特殊情况确定最值，能很好地考查辅助线构造能力和动态分析能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题是垂径定理在实际问题中的应用，解题思路如下：首先根据轴对称性可知圆弧所在圆的圆心在对称轴EF上，我们可以通过构造直角三角形结合勾股定理求解半径。第一步设出圆心和未知数，利用垂径定理得到弦CD的一半长度，第二步将圆的半径用含未知数的式子表示，第三步在直角三角形中利用勾股定理列方程求解，最后算出半径长度。
【解析】
设圆弧MN所在圆的圆心为O，连接OD，设CD与OE交于点H，设$OH=x\ \mathrm{mm}$。
由题意可知$EH=6\ \mathrm{mm}$，因此圆的半径$OE=OD=(x+6)\ \mathrm{mm}$。
根据垂径定理，OE垂直平分CD，已知$CD=24\sqrt{3}\ \mathrm{mm}$，因此$DH=\frac{1}{2}CD=12\sqrt{3}\ \mathrm{mm}$。
在$\mathrm{Rt}△OHD$中，由勾股定理得$OD^2=OH^2+DH^2$，代入得：
$(x+6)^2=x^2+(12\sqrt{3})^2$
展开计算：$x^2+12x+36=x^2+432$，
化简得$12x=396$，解得$x=33$。
因此圆弧MN所在圆的半径$OE=33+6=39\ \mathrm{mm}$。

【答案】
39
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题结合磁悬浮地漏的生活情境考查圆的相关计算，解题的核心是利用垂径定理构造直角三角形，通过方程思想求解未知量，难度不大，熟练掌握垂径定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7

【分析】
要求$\odot O$的半径，可结合垂径定理、勾股定理求解：首先过圆心作弦$CD$的垂线，利用垂径定理得到$CD$一半的长度；再延长$AB$交上述垂线于点$F$，可证四边形$BCEF$是矩形，将已知的$AB、BC、CD$的长度转化到含半径的两个直角三角形$△ OAF$和$△ OCE$中，利用半径相等的性质，结合勾股定理列方程求解，即可得到半径长度。
【解析】
解：过点$O$作$OE ⊥ CD$于点$E$，延长$AB$、$EO$交于点$F$，连接$OA、OC$。
根据垂径定理，$OE⊥CD$可得$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×4=2$。
$\because ∠B=∠C=∠OEC=90°$，$\therefore$四边形$BCEF$是矩形，
$\therefore ∠F=90°$，$EF=BC=6$，$BF=CE=2$。
$\because AB=2$，$\therefore AF=AB+BF=2+2=4$。
设$OF=x$，则$OE=EF-OF=6-x$。
$\because OA、OC$都是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OC$，
由勾股定理得$OA^2=AF^2+OF^2$，$OC^2=CE^2+OE^2$，
$\therefore 4^2+x^2=2^2+(6-x)^2$，
解得$x=2$。
$\therefore OA=\sqrt{AF^2+OF^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，即$\odot O$的半径为$2\sqrt{5}$。
【答案】
C

【知识点】
垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了垂径定理、勾股定理和矩形的性质，解题的关键是合理构造辅助线，得到含半径的直角三角形，结合方程思想求解，能有效锻炼几何推理能力和数形结合能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决MN的最大值问题，首先结合垂径定理可知：垂直于弦的直径平分弦，因此弦长$MN=2MG$，$MG$由圆的半径$OM$和圆心$O$到弦$MN$的距离$OG$决定，满足勾股定理$MG=\sqrt{OM^2-OG^2}$。已知$DE$为定值，因此圆的半径$OM=OC=\frac{1}{2}DE$是固定值，要使$MN$最大，只需$OG$最小。接下来过$C$作$CH⊥ AB$于$H$，$CH$可通过面积法求出为定值，根据两点之间线段最短可得$OC+OG≥ CH$，代入定值即可求出$OG$的最小值，最终算出$MN$的最大值。
【解析】
解：取$DE$的中点$O$（即该圆的圆心），连接$OC$、$OM$，过点$O$作$OG⊥ MN$于$G$，根据垂径定理得$MG=GN$，即$MN=2MG$。
过点$C$作$CH⊥ AB$于$H$。
1. 求$AB$和$CH$的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× AB× CH$，代入数值：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× CH$，解得$CH=4.8$。
2. 求$OC$、$OM$的长度：
在$Rt△ DCE$中，$O$是斜边$DE$的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得：
$OC=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×6.4=3.2$。
$OM$为圆的半径，因此$OM=OC=3.2$。
3. 求$OG$的最小值：
根据两点之间线段最短，$OC+OG≥ CH$，代入数值：
$3.2+OG≥4.8$，解得$OG≥1.6$，即$OG$的最小值为$1.6$。
4. 求$MN$的最大值：
在$Rt△ OMG$中，由勾股定理得$MG=\sqrt{OM^2-OG^2}$，$OM$为定值，因此$OG$取最小值$1.6$时，$MG$最大：
$MG_{max}=\sqrt{3.2^2-1.6^2}=\frac{8\sqrt{3}}{5}$，
因此$MN_{max}=2MG_{max}=2×\frac{8\sqrt{3}}{5}=\frac{16\sqrt{3}}{5}$。
【答案】
$\frac{16\sqrt{3}}{5}$
【知识点】
垂径定理；直角三角形斜边中线性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的性质与直角三角形的性质，解题核心是将弦长最值问题转化为圆心到弦的距离的最值问题，需要灵活运用垂径定理、面积法求高和不等式求最值，对综合推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.3