【分析】
解决本题需分两个方案逐步推导：
1. 方案一：先明确“日”字形框架的周长构成：3段水平的宽AB加2段竖直的长AD总长度为6m，得到第一个等量关系；再结合长宽比为5:3的条件，得到长和宽的数量关系，联立两个关系即可求解AB的长度。
2. 方案二：要得到最大采光面积，需先设合适的自变量，将窗户面积表示为关于自变量的二次函数，再根据二次函数的开口方向和顶点坐标求最大值，注意自变量取值要符合实际意义。
【解析】
方案一
设AB的长为$x\ \mathrm{m}$，AD的长为$y\ \mathrm{m}$。
由铝合金型材总长为6m，可得：$3x + 2y = 6$。
已知长与宽的比为$5:3$，即$y:x=5:3$，整理得$y=\frac{5}{3}x$。
将$y=\frac{5}{3}x$代入$3x + 2y = 6$，得：
$3x + 2×\frac{5}{3}x = 6$
解得$x=\frac{18}{19}$。
方案二
设AD的长为$a\ \mathrm{m}$，窗户的面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
由周长关系可得AB的长为$\frac{6-2a}{3}\ \mathrm{m}$，因此面积表达式为：
$S = a·\frac{6-2a}{3} = -\frac{2}{3}a^2 + 2a$
将函数配方得：
$S = -\frac{2}{3}(a-\frac{3}{2})^2 + \frac{3}{2}$
由于$-\frac{2}{3}＜0$，二次函数开口向下，因此当$a=\frac{3}{2}$时，$S$取得最大值$\frac{3}{2}$。
【答案】
方案一：窗户框架的宽AB为$\frac{18}{19}\ \mathrm{m}$；
方案二：窗户的最大面积为$\frac{3}{2}\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二元一次方程的应用；二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合生活中的窗户设计场景，考查了方程与函数的实际应用，解题时需要先准确提取图形中的周长等量关系，再根据不同设计要求选择合适的数学模型求解，能有效考查将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 作接触角需先明确其定义：过固液气三相接触点作气-液界线（圆弧）的切线，切线与固-液界线（材料表面水平线）的夹角即为接触角。首先通过“作圆弧两条弦的垂直平分线，交点为圆心”确定圆弧的圆心，再根据“切线垂直于过切点的半径”过三相点作圆弧的切线，即可得到所求接触角。
(2) 疏水性是材料与水的排斥性质，接触角越大，说明水滴和材料的接触面积越小，排斥作用越强，据此即可判断疏水性的变化规律。
(3) 推导两角关系时，先利用切线性质得到切线与过切点半径的垂直关系，再结合等腰三角形等边对等角、直角三角形两锐角互余的性质，通过等角代换即可得到两角的数量关系。
(4) 疏水性与水滴的饱满程度相关，可选取能描述水滴接近球形程度的量，分析该量与疏水性的变化关系即可。
【解析】
(1) 作图步骤：①在圆弧上取一点C，设固、液、气三相接触点为M、N，连接MC、NC；②分别作MC、NC的垂直平分线，两线交于点O，即圆弧对应的圆心；③连接OM，过点M作PM⊥OM，则PM为圆弧在M点的切线，∠PMN即为所求接触角。

(2) 接触角越大，水滴越趋近于球形，和材料的接触面积越小，材料与水的排斥性越强，因此疏水性随着接触角的变大而变强。
(3) $\boldsymbol{∠CAD=2∠BAC}$，理由如下：
如图，连接OA，
∵OA和OB都是圆的半径，
∴OA=OB，
∴∠ABC=∠OAB。
由题意知AD为⊙O的切线，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，
∴OA⊥AD，即∠OAD=90°，
∴∠OAB+∠BAD=90°。
∵BC⊥AC，
∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，∠ABC+∠BAC=90°。
结合∠ABC=∠OAB，可得∠BAD=∠BAC，因此∠CAD=∠BAD+∠BAC=2∠BAC。

(4) 示例：可以用纵截面中水滴高度BC与底面圆半径AC的比值来描述，$\frac{BC}{AC}$越大，水滴越接近球形，疏水性越强。（答案合理即可）
【答案】
(1) 接触角为∠PMN，作图如下：

(2) 变强
(3) $\boxed{∠CAD=2∠BAC}$
(4) 示例：可用$\frac{BC}{AC}$描述，$\frac{BC}{AC}$越大，疏水性越强（合理即可）
【知识点】
尺规作图、切线的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题以生活中莲叶疏水的常见现象为背景，将数学知识与实际应用结合，既考查了尺规作图、圆的基本性质等基础知识点的掌握，也考查了知识迁移应用和创新思考的能力，引导学生学会用数学知识解释生活中的现象。
【难度系数】
0.7