三、解答题(共50分)
11.(10分)(2025·宿迁宿城区期末)计算:(1)$5-(-3)+|-2|$；(2)$(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{3}{4})×(-6)^2$.
答案：解：
(1) $5-(-3)+|-2|$
$=5+3+2$
$=10$
(2) $(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{3}{4})×(-6)^2$
$=(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{3}{4})×36$
$=\frac{1}{2}×36 - \frac{2}{3}×36 + \frac{3}{4}×36$
$=18 - 24 + 27$
$=21$
12.(10分)(2025·宿迁沭阳县期中)已知$2M - N = 3a^2 + 2ab$，$M = -a^2 + 2ab - 3$。
(1)求$N$；(用含$a,b$的代数式表示)
(2)比较$M$与$N$的大小。
答案：解：
(1) 由$2M - N = 3a^2 + 2ab$，可得：
$N = 2M - (3a^2 + 2ab)$
将$M = -a^2 + 2ab - 3$代入上式：
$\begin{aligned}N&=2(-a^2 + 2ab - 3) - 3a^2 - 2ab\\&=-2a^2 + 4ab - 6 - 3a^2 - 2ab\\&=-5a^2 + 2ab - 6\end{aligned}$
(2) 作差计算$M-N$：
$\begin{aligned}M - N&=(-a^2 + 2ab - 3) - (-5a^2 + 2ab - 6)\\&=-a^2 + 2ab - 3 + 5a^2 - 2ab + 6\\&=4a^2 + 3\end{aligned}$
因为$a^2≥0$，所以$4a^2 + 3≥3＞0$，即$M-N＞0$，
所以$M＞N$。
13.(15分)某蔬菜经营户,用120元从蔬菜市场批发了番茄和豆角共45千克,番茄、豆角当天的批发价、零售价如下表：
(1)这天该经营户批发了番茄和豆角各多少千克?
(2)当天卖完这些番茄和豆角能盈利多少元?
答案：解：(1) 设这天该经营户批发了番茄$x$千克，则批发豆角$(45-x)$千克。
根据题意列方程：
$2.4x + 3.2(45-x) = 120$
去括号，得：$2.4x + 144 - 3.2x = 120$
移项、合并同类项，得：$-0.8x = -24$
系数化为1，得：$x=30$
豆角的重量为：$45-30=15$(千克)
(2) 每千克番茄盈利：$3.6 - 2.4 = 1.2$(元)
每千克豆角盈利：$5.0 - 3.2 = 1.8$(元)
总盈利为：$30×1.2 + 15×1.8 = 36 + 27 = 63$(元)
答：(1) 这天该经营户批发了番茄30千克，豆角15千克；(2) 当天卖完这些番茄和豆角能盈利63元。
14.(15分)如图①,射线OC在∠AOB内部,图中共有三个角∠AOC,∠AOB,∠BOC.若其中有一个角的度数是另外一个角度数的一半,则称射线OC是∠AOB的“优线”.
(1)∠AOB的平分线
这个角的“优线”(填“是”或“不是”),一个角共有
条“优线”;
(2)若∠AOB=60°,射线OC是∠AOB的“优线”,则∠AOC的度数为
;
(3)如图②,∠AOB=120°,射线OP从OA出发,绕点O以每秒2°的速度顺时针旋转,射线OQ从OB出发,绕点O以每秒1°的速度逆时针旋转,两条射线同时旋转,至OP,OQ相遇时停止.设旋转的时间为t s,问t为何值时,射线OP是∠AOQ的“优线”?
答案：解：
(1) 是；3
(2) $20°$，$30°$，$40°$
(3) 当OP、OQ相遇时，$2t + t = 120$，解得$t=40$，即$0＜t＜40$。
由题意得：$∠ AOP=2t°$，$∠ AOQ=120° - t°$。
因为射线OP是$∠ AOQ$的“优线”，分三种情况讨论：
① 若$∠ AOP = \frac{1}{2}∠ AOQ$，
则$2t = \frac{1}{2}(120 - t)$，
解得$t=24$；
② 若$∠ AOP = \frac{1}{2}∠ POQ$，
此时$∠ POQ = ∠ AOQ - ∠ AOP = (120 - t) - 2t = 120 - 3t$，
则$2t = \frac{1}{2}(120 - 3t)$，
解得$t=\frac{120}{7}$；
③ 若$∠ POQ = \frac{1}{2}∠ AOP$，
则$120 - 3t = \frac{1}{2} × 2t$，
解得$t=30$。
综上，当$t$的值为$\frac{120}{7}$、24或30时，射线OP是$∠ AOQ$的“优线”。
