26.(10分)定义:对于“☆”运算,若$a☆b=(-b)☆(-a)$,则称“☆”运算满足“反换律”.例如:$a×b=(-b)×(-a)$,故乘法运算满足“反换律”.
(1)下列运算满足“反换律”的是
②
.(填序号)
①加法,②减法,③除法.
(2)规定“⊕”运算:$a⊕b=a^2 + b^2 - 3ab$.
①若$a=1,b=-2$,则$a⊕b=$
11
;
②请你判断“⊕”运算是否满足“反换律”,并说明理由.
答案：26.(1)②
(2)①11
②解:“⊕”运算满足“反换律”,理由:
因为$a⊕b=a^2 + b^2 - 3ab$,
$(−b)⊕(−a)=(−b)^2+(−a)^2−3(−b)(−a)=a^2+b^2−3ab$,
所以$a⊕b=(−b)⊕(−a)$,
所以“⊕”运算满足“反换律”.
27.(12分)如图,线段$AB=10$,动点C在线段AB上,D是线段AC的中点,E是线段AB上一点.
(1)如图①,当E是线段BC的中点时,
①若$AD=3$,则$BE=$
2
.
②点C在线段AB上运动的过程中,线段DE的长度是否是一个定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.
(2)如图②,当E是线段BD的中点时,在点C运动的过程中,是否存在和点E重合的可能?如果存在,求出重合时线段AC的长度;如果不存在,请说明理由.
答案：27.(1)①2
②解:线段DE的长度为定值5,理由:
因为D是线段AC的中点,E是线段BC的中点,
所以$CD=\frac{1}{2}AC$,$CE=\frac{1}{2}BC$,
所以$DE=CD+CE=\frac{1}{2}CA+\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}(CB+CA)=\frac{1}{2}AB$.
因为AB=10,所以DE=5,为定值.
(2)解:假设存在点C与点E重合,因为D是线段AC的中点,E是线段BD的中点,
所以$AD=CD=\frac{1}{2}AC$,$BC=DC=\frac{1}{2}BD$,
所以$AD=DC=CB$,$AC=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}×10=\frac{20}{3}$.
28.(12分)小慧设计了一个运算程序如图所示，程序每执行一次运算后按条件进行判断，然后输出结果或继续执行下一次运算.
(1)当$a=2,k=3,m=15$时，
①若输入$x=3$，则运算执行
2
次后输出，输出结果为
21
；
②若输入$x$执行2次运算后输出的结果等于$6x-1$，求$x$的值.
(2)当$a=-3$时，若输入的$x$值能使程序进入无限循环，且每次执行运算的结果都相同，请直接写出输入的$x$值及$m$的取值范围.(用含$k$的代数式表示)
答案：28.(1)①2 21
②解:由题意,得2(2x+3)+3=6x−1,
4x+6+3=6x−1,
解得x=5.
(2)解:第1次输出的值为−3x+k,第2次输出的值为−3(−3x+k)+k=9x−2k,由题意,得−3x+k=9x−2k,解得$x=\frac{k}{4}$.又因为输入的x值能使程序进入无限循环,所以−3x+k≤m,解得$m≥\frac{k}{4}$.
