三、解答题(共50分)
11.(15分)已知一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(-2,4)$，且与正比例函数$y=2x$的图象平行.
(1)求一次函数$y=kx+b$的表达式；
(2)求一次函数$y=kx+b$的图象与坐标轴所围成的三角形的面积.
答案：11.解:(1)
∵一次函数$y=kx+b$的图象与正比例函数$y=2x$的图象平行,
∴$k=2$.
∵一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(-2,4)$,
∴$-2×2+b=4$,解得$b=8$,
∴一次函数$y=kx+b$的表达式为$y=2x+8$.
(2)在$y=2x+8$中,令$x=0$,得$y=8$;令$y=0$,得$x=-4$,
∴直线$y=2x+8$与x轴、y轴分别相交于点$(-4,0)$,$(0,8)$.
∴一次函数$y=kx+b$的图象与坐标轴所围成的三角形的面积为$\frac{1}{2}×4×8=16$.
12.(15分)(2025·宿迁泗阳县期末)如图,直线$l_1:y=kx-2k(k＜0)$分别交$x$轴、$y$轴于点$A$, $B$,直线$l_2:y=2x+b$经过点$B$且交$x$轴于点$C$.
(1)点$A$的坐标为
$(2,0)$
.
(2)当$k=-1$时,
①求$△ ABC$的面积;
②直接写出$△ ABC$及内部横纵坐标都为整数的点的个数.
答案：12.(1)$(2,0)$
(2)解:①由题意,当$k=-1$时,直线$l_1$的函数表达式为$y=-x+2$,
∴令$x=0$,则$y=2$,
∴$B(0,2)$.
∵直线$l_2:y=2x+b$经过点$B$,
∴直线$l_2:y=2x+2$,
令$y=0$,则$2x+2=0$,解得$x=-1$,
∴$C(-1,0)$.
∵$A(2,0)$,
∴$AC=3$,
∴$△ABC$的面积为$\frac{1}{2}×2×3=3$.
②由题意,如答图,
∵$A(2,0),B(0,2),C(-1,0)$,
∴结合图象可得,$△ABC$及内部横纵坐标都为整数的点的个数为7.
13.(20分)为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A，B两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售.已知每件A品种柑橘礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元，且出售25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价为3500元.
(1)A，B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？
(2)已知加工A，B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元，该乡镇计划在某农产品展销活动中售出A，B两种柑橘礼盒共1000盒，且A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54050元，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A，B两种柑橘礼盒的销售方案？并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益.
答案：13.解:(1)设A品种柑橘礼盒每件的售价为x元,则B品种柑橘礼盒每件的售价为$(x+20)$元.
由题意得$25x+15(x+20)=3500$,解得$x=80$,
∴$x+20=100$.
答:A品种柑橘礼盒每件的售价为80元,B品种柑橘礼盒每件的售价为100元.
(2)设销售A品种柑橘礼盒$m$盒,则销售B品种柑橘礼盒$(1000-m)$盒.
由题意得$\begin{cases} m≤ 1.5(1000-m), \\ 50m+60(1000-m)≤ 54050, \end{cases}$
解得$595≤ m≤ 600$.
设收益为$w$元,由题意得$w=(80-50)m+(100-60)·(1000-m)=-10m+40000$.
∵$-10＜0$,
∴$w$随$m$的增大而减小,
∴当$m=595$时,$w$取得最大值,最大值为$-10×595+40000=34050$,
此时,$1000-m=1000-595=405$(盒).
答:使农户收益最大,应该安排销售A品种柑橘礼盒595盒,B品种柑橘礼盒405盒,农户在这次农产品展销活动中的最大收益为34050元.
