三、解答题(共50分)
11.(15分)(2025·宿迁沭阳县期末)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=60°$,$AD$是$∠ BAC$的平分线,$E$为$AD$上一点,以$BE$为一边,且在$BE$下方作等边$△ BEF$,连接$CF$.
(1)求证:$△ ABE≌△ CBF$;
(2)求$∠ ACF$的度数.
答案：11.(1)证明:$\because AB=AC,∠ BAC=60°$,
$\therefore △ ABC$是等边三角形,
$\therefore AB=BC,∠ ABE+∠ EBC=60°$.
$\because △ BEF$是等边三角形,
$\therefore BE=BF,∠ CBF+∠ EBC=60°,\therefore ∠ ABE=∠ CBF$.
在$△ ABE$和$△ CBF$中,$\begin{cases} AB=CB,\\ ∠ ABE=∠ CBF,\\ BE=BF, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ CBF(\mathrm{SAS})$.
(2)解:$\because △ ABC$是等边三角形,$AD$是$∠ BAC$的平分线,
$\therefore ∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×60°=30°,∠ ACB=60°$.
$\because △ ABE≌△ CBF,\therefore ∠ BCF=∠ BAE=30°$,
$\therefore ∠ ACF=∠ BCF+∠ ACB=30°+60°=90°$.
12.(15分)(2025·宿迁宿城区期中)如图,在$△ ABC$中,$CG⊥ AB$,垂足为$G$,点$D$在$CG$的延长线上,且$CD=AB$,连接$AD$,过点$A$作$AF⊥ AD$,且$AF=AD$,连接$BF$并延长交$AC$于点$E$.
(1)求证:$∠1=∠2$;
(2)若$AC=6$,$EF=1$,求$△ ABC$的面积.
答案：12.(1)证明:$\because CG⊥ AB,\therefore ∠ AGD=90°$,
$\therefore ∠ D+∠ DAG=90°$.
$\because AF⊥ AD,\therefore ∠ DAF=90°$,
$\therefore ∠ DAG+∠ GAF=90°,\therefore ∠ D=∠ GAF$.
在$△ ADC$和$△ FAB$中,$\begin{cases} AD=FA,\\ ∠ D=∠ BAF,\\ DC=AB, \end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ FAB(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ 1=∠ 2$.
(2)解:$\because △ ADC≌△ FAB,\therefore AC=BF=6$.
$\because EF=1,\therefore BE=BF+EF=6+1=7$.
$\because ∠ 1=∠ 2,∠ BGC=90°$,
$\therefore ∠ FEC=∠ BGC=90°,\therefore BE⊥ AC$,
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BE=\frac{1}{2}×6×7=21$.
13.(20分)如图①，$△ ABC$是等边三角形，点$D,E$分别在边$AB,BC$上，且$BD=BE$，连接$DE$.
(1)求证:$DE// AC$；
(2)将图①中的$△ BDE$绕点$B$顺时针旋转，使得点$A,D,E$在同一条直线上，如图②，求$∠ AEC$的度数；
(3)在(2)的条件下，如图③，连接$CD$，过点$D$作$DM⊥ BE$于点$M$，在线段$BM$上取点$N$，使得$∠ DNE+∠ DCE=180°$.求证:$EN-EC=2MN$.
答案：13.(1)证明:$\because △ ABC$是等边三角形,
$\therefore ∠ B=∠ C=60°$.
又$\because BD=BE,\therefore △ BDE$是等边三角形,
$\therefore ∠ BED=60°,\therefore ∠ C=∠ BED,\therefore DE// AC$.
(2)解:$\because △ ABC,△ BDE$都是等边三角形,
$\therefore BA=BC,BD=BE,∠ ABC=∠ DBE=∠ BDE=∠ BED=60°,\therefore ∠ ABD=∠ CBE$.
在$△ ABD$和$△ CBE$中,$\begin{cases} BA=BC,\\ ∠ ABD=∠ CBE,\\ BD=BE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CBE(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ ADB=∠ CEB$.
$\because ∠ ADB=180°-∠ BDE=180°-60°=120°$,
$\therefore ∠ CEB=120°$,
$\therefore ∠ AEC=∠ CEB-∠ BED=120°-60°=60°$.
(3)证明:$\because ∠ DNE+∠ DCE=180°,∠ DNE+∠ DNB=180°,\therefore ∠ DCE=∠ DNB$.
由(1)知$△ BDE$是等边三角形,
$\therefore BD=ED,∠ DBE=60°$.
由(2)知$∠ AEC=60°,\therefore ∠ DBN=∠ DEC$.
在$△ BDN$和$△ EDC$中,$\begin{cases} ∠ DBN=∠ DEC,\\ ∠ DNB=∠ DCE,\\ BD=ED, \end{cases}$
$\therefore △ BDN≌△ EDC(\mathrm{AAS}),\therefore BN=EC$.
$\because DB=DE,DM⊥ BE$,
$\therefore BM=EM$,即$BN+MN=EN-MN$,
$\therefore CE+MN=EN-MN,\therefore EN-EC=2MN$.
