【模型】如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，D，E是斜边BC上的两点，且∠DAE=45°，则BD²＋CE²＝DE²。
答案：证明：
将△ABD绕点A逆时针旋转90°，使AB与AC重合，得到△ACF，连接EF。
由旋转性质得：AD=AF，BD=CF，∠ABD=∠ACF，∠BAD=∠CAF。
∵ △ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°
∴ ∠B=∠ACB=45°
∴ ∠ACF=∠ABD=45°
∴ ∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°
在Rt△ECF中，由勾股定理得：$CE^2 + CF^2 = EF^2$，即$BD^2 + CE^2 = EF^2$。
∵ ∠BAC=90°，∠DAE=45°
∴ ∠BAD + ∠CAE = 90° - 45° = 45°
∴ ∠CAF + ∠CAE = ∠EAF = 45°，即∠DAE=∠EAF=45°。
在△ADE和△AFE中：
$\{\begin{array}{l}AD=AF \\∠DAE=∠FAE \\AE=AE\end{array} $
∴ △ADE ≌ △AFE（SAS）
∴ DE=EF
∴ $BD^2 + CE^2 = DE^2$。
1. 如图，$∠ BAC=∠ DAF=90°$，$AB=AC$，$AD=AF$，$D$，$E$为$BC$边上的两点，且$∠ DAE=45°$，连接$EF$，$BF$，则下列结论正确的是
①③
.(填序号)
①$△ AED ≌ △ AEF$；②$△ AED$为等腰三角形；③$BE+DC＞DE$；④$BE^2+DC^2＞DE^2$.
答案：1. ①③
2. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=90°$,点$D,E$分别在边$BC$及其延长线上,$BD^2 + CE^2 = DE^2$,$F$为$△ ABC$外一点,且$FB⊥ BC$,$FA⊥ AE$.有下列结论:①$AF=AE$;②$∠ DAE=45°$;③$S_{△ ADE}=\frac{1}{4}AD· EF$;④$CE^2 + BE^2 = 2AE^2$,其中正确的是________.(填序号).
答案：2. ①②③④
3.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,点$D$,$E$均在边$BC$上,且$∠ DAE=45°$,若$BD=4$,$CE=3$,则$DE=$
5
,$△ ABC$的面积为
36
.
答案：3. 5 36
4.(2025·徐州期中)如图,在等腰直角三角形ABC的斜边上取异于点B,C的两点E,F,使∠EAF=45°,若CF=3,EF=5,则以EF,BE,CF为边的三角形的面积为
6
。
答案：4. 6
