22.(8分)如图,在$△ ABC$中,$AB＞AC$.
(1)用尺规求作点$P$,点$P$在$AB$上,且$PB=PC$;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)连接$PC$,若$∠ ACB=60°$,$∠ A=90°$,$AB=6$,求$PC$的长.
答案：22.解:(1)如答图,点P即为所求.
(2)
∵∠ACB=60°,∠A=90°,
∴∠B=30°.
∵PB=PC,
∴∠PCB=∠B=30°,
∴∠ACP=∠ACB−∠PCB=60°−30°=30°,
∴PC=2PA,即PC=2(6−PC),解得PC=4.
23.(10分)(2025·宿迁宿城区期中)如图,在△ABC中,AB=BC,BE平分∠ABC,CD⊥AB于点D,CD=BD,H是BC边的中点,连接DH,交BE于点G,连接CG.
(1)求证:△ADC≌△FDB;
(2)求证:CE=$\frac{1}{2}$BF;
(3)求∠FGD的度数.
答案：23.(1)证明:
∵AB=BC,BE平分∠ABC,
∴BE⊥AC,
∴∠CAD+∠ABE=90°.
∵CD⊥AB,
∴∠CAD+∠ACD=90°,
∴∠ACD=∠ABE=∠FBD.
在△ADC和△FDB中,$\begin{cases} ∠ADC=∠FDB,\\ CD=BD,\\ ∠ACD=∠FBD, \end{cases}$
∴△ADC≌△FDB(ASA).
(2)证明:
∵AB=BC,BE平分∠ABC,
∴AE=CE,
∴CE=$\frac{1}{2}$AC.
由(1)知△ADC≌△FDB,
∴AC=FB,
∴CE=$\frac{1}{2}$BF.
(3)解:
∵CD⊥AB,
∴∠BDC=90°.
∵CD=BD,
∴△BCD是等腰直角三角形,
∴∠ABC=45°.
∵BE平分∠ABC,
∴∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=22.5°.
∵CD=BD,H是BC边的中点,
∴DH⊥BC,
∴∠BHG=90°,
∴∠BGH=90°−∠CBE=90°−22.5°=67.5°,
∴∠FGD=∠BGH=67.5°.
24.(12分)【问题背景】
(1)如图①,直线$ l $经过点$ A $,$ ∠ BAC=90° $,$ AB=AC $,过点$ B,C $分别向直线$ l $作垂线,垂足分别为$ D,E $,求证:$ △ ABD ≌ △ CAE $;
【变式探究】
(2)如图②,点$ A,D,E $在直线$ l $上,若$ ∠ CEA=∠ BAC=∠ ADB $,$ AB=AC $,求证:$ DE=BD+CE $;
【拓展应用】
(3)如图③所示,在$ \mathrm{Rt}△ BAD $和$ \mathrm{Rt}△ CAE $中,$ ∠ BAD=∠ CAE=90° $,$ AB=AD $,$ AC=AE $,连接$ BC,DE $,作$ BC $边上的高$ AG $,延长$ GA $交$ DE $于点$ H $.若$ AH=5 $,$ AG=12 $,求$ △ DAE $的面积.
答案：24.(1)证明:
∵BD⊥直线l,CE⊥直线l,
∴∠BDA=∠AEC=90°,
∴∠DAB+∠DBA=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠DAB+∠EAC=90°,
∴∠DBA=∠EAC.
在△ABD和△CAE中,$\begin{cases} ∠BDA=∠AEC,\\ ∠DBA=∠EAC,\\ AB=AC, \end{cases}$
∴△ABD≌△CAE(AAS).
(2)证明:
∵∠EAB是△ABD的外角,
∴∠EAB=∠ADB+∠DBA,
∴∠EAC+∠BAC=∠ADB+∠DBA.
∵∠ADB=∠BAC,
∴∠EAC=∠DBA.
在△EAC和△DBA中,$\begin{cases} ∠EAC=∠DBA,\\ ∠CEA=∠ADB,\\ AC=BA, \end{cases}$
∴△EAC≌△DBA(AAS),
∴CE=AD,AE=BD,
∴DE=AE+AD=BD+CE.
(3)解:过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M,过点E作EN⊥AH于点N,如答图所示.
∵AG⊥BC,
∴∠AGB=∠M=90°,
∴∠ABG+∠BAG=90°.
∵∠BAD=90°,
∴∠BAG+∠DAM=90°,
∴∠ABG=∠DAM.
在△ABG和△DAM中,$\begin{cases} ∠AGB=∠M,\\ ∠ABG=∠DAM,\\ AB=AD, \end{cases}$
∴△ABG≌△DAM(AAS),
∴DM=AG,
同理可证明△AGC≌△ENA,
∴EN=AG,
∴DM=EN=AG.
∵$S_{△DAE}=S_{△AHD}+S_{△AHE}=\frac{1}{2}AH·DM+\frac{1}{2}AH·EN=AH·DM=AH·AG=5×12=60$,
∴△DAE的面积为60.
