1. 如图，$∠ ACB=90°$，$AC=BC$，$AD⊥ CE$，$BE⊥ CE$，垂足分别是$D$，$E$，$AD=3$，$BE=1$，则$△ ABC$的面积是 （
B
）
A.$\frac{3}{2}$
B.$5$
C.$2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{10}$
答案：1.B 点拨:$\because AD⊥ CE,BE⊥ CE,\therefore ∠ ADC=∠ E=90°,$
$\therefore ∠ DAC+∠ ACD=90°.$
$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ ACD+∠ ECB=90°,\therefore ∠ DAC=∠ ECB.$ 在$△ ACD$和$△ CBE$中,$\begin{cases} ∠ DAC=∠ ECB, \\ ∠ ADC=∠ E, \\ AC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ CBE(\mathrm{AAS}),$
$\therefore CD=BE=1.$ 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$AD=3,CD=1,$由勾股定理,得$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10},$
$\therefore AC=BC=\sqrt{10}.$
$\because ∠ ACB=90°,\therefore △ ABC$是等腰直角三角形,
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}×\sqrt{10}×\sqrt{10}=5.$
2.(1)如图①,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CA=CB$,过点$C$的直线$l$经过三角形内部,过点$A$作$AD⊥ l$于点$D$,过点$B$作$BE⊥ l$于点$E$,则$BE$与$AD$,$DE$的数量关系为
BE=AD+DE
,请证明你所写的结论;
(2)尝试探究:若$BE=a$,$AD=b$.
①如图①,连接$AE$,$BD$,四边形$ADBE$的面积为
$\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}b^2$
(用含$a$,$b$的代数式表示);
②如图②,若过点$C$的直线$l$不经过$△ ABC$内部,其他条件不变,则四边形$ADEB$的面积为
$\frac{1}{2}(a+b)^2$
(用含$a$,$b$的代数式表示).
答案：2.(1)解:$BE=AD+DE$. 证明如下:
$\because AD⊥ l,BE⊥ l,\therefore ∠ ADC=∠ CEB=90°,$
$\therefore ∠ ACD+∠ CAD=90°.$
$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ ACD+∠ BCE=90°,$
$\therefore ∠ CAD=∠ BCE.$
在$△ ADC$和$△ CEB$中,$\begin{cases} ∠ CAD=∠ BCE, \\ ∠ ADC=∠ CEB, \\ CA=BC, \end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ CEB(\mathrm{AAS}),\therefore BE=CD,AD=CE.$
$\because CD=CE+DE,\therefore BE=AD+DE.$
(2)①$\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}b^2$
点拨:$\because BE=a,AD=b,$
$\therefore$ 根据(1)可知:$DE=BE-AD=a-b,$
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ADBE}=S_{△ ADE}+S_{△ BDE}=\frac{1}{2}DE· AD+\frac{1}{2}DE· BE=\frac{1}{2}(a-b)· b+\frac{1}{2}(a-b)· a=\frac{1}{2}(a-b)(a+b)=\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}b^2.$
②$\frac{1}{2}(a+b)^2$
点拨:根据(1)同理可证$△ ADC≌△ CEB,\therefore AD=CE=b,BE=CD=a,$
$\therefore DE=CD+CE=a+b,\therefore$ 四边形$ADEB$的面积为$\frac{1}{2}(a+b)^2.$
