2026年亮点给力提优课时作业本七年级数学上册苏科版第137页解析答案——零五网—

7. 新趋势综合实践张老师在综合实践活动课上给每位同学发了一张边长为1的正方形纸片,请同学们思考如何通过折纸的方法求出$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^6}$的值.
【操作探究】
“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后,进行如下操作:如图①,将边长为1的正方形纸片分割成7个部分,第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半,第②部分是第①部分面积的一半,第③部分是第②部分面积的一半……依此类推,则空白部分的面积为$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^6}$.
“破浪”小组是这样思考的:设$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^6}$①. 将等式两边同时乘$\frac{1}{2}$,得$\frac{1}{2}S=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\dots+\frac{1}{2^7}$②. ①$-$②,得$\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^7}$,即$S=1-\frac{1}{2^6}=\frac{63}{64}$,所以$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^6}=\frac{63}{64}$.
【过程思考】
(1) 阴影部分的面积是

$\frac{1}{64}$

,$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{2^7}=$

$\frac{127}{128}$

;
【拓展应用】
(2) 根据以上规律及思想方法,解答下列问题.(结果写成含幂的形式)
① 求$\frac{1}{2^8}+\frac{1}{2^9}+\frac{1}{2^{10}}+\dots+\frac{1}{2^{20}}$的值;
② 求$\frac{1}{2}+1\frac{3}{4}+2\frac{7}{8}+3\frac{15}{16}+4\frac{31}{32}+5\frac{63}{64}+\dots+9\frac{1023}{1024}+10\frac{2047}{2048}$的值;
【迁移】
(3) 如图②,点$M$在线段$AN$的延长线上,且线段$MN=20$.第一次操作:分别取线段$AM$和$AN$的中点$M_1,N_1$;第二次操作:分别取线段$AM_1$和$AN_1$的中点$M_2,N_2$;第三次操作:分别取线段$AM_2$和$AN_2$的中点$M_3,N_3$……连续这样操作30次,则每次的两个中点所形成的所有线段之和$M_1N_1+M_2N_2+M_3N_3+\dots+M_{30}N_{30}$的值为多少?(结果写成含幂的形式)

答案：7. (1) $\frac{1}{64}$ $\frac{127}{128}$ 解析:因为题图中空白部分的面积为$\frac{63}{64}$,所以阴影部分的面积为$1-\frac{63}{64}=\frac{1}{64}$. 设$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{2^7}$,则$2S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^6}$,所以$S=2S-S=1-\frac{1}{2^7}=\frac{127}{128}$.
(2) ① $原式=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^{19}}+\frac{1}{2^{20}})-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots+\frac{1}{2^7})=(1-\frac{1}{2^{20}})-(1-\frac{1}{2^7})=\frac{1}{2^7}-\frac{1}{2^{20}}$.
② $原式=(1-\frac{1}{2})+(2-\frac{1}{4})+(3-\frac{1}{8})+\dots+(11-\frac{1}{2048})=(1-\frac{1}{2})+(2-\frac{1}{2^2})+(3-\frac{1}{2^3})+\dots+(11-\frac{1}{2^{11}})=(1+2+3+\dots+11)-(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots+\frac{1}{2^{11}})=66-(1-\frac{1}{2^{11}})=65\frac{1}{2^{11}}$.
(3) 由题意,得 $M_1N_1=AM_1-AN_1=\frac{1}{2}(AM-AN)=\frac{1}{2}MN$. 同理可得 $M_2N_2=\frac{1}{2}M_1N_1$, …, $M_{30}N_{30}=\frac{1}{2}M_{29}N_{29}$. 因为 $MN=20$,所以 $M_1N_1+M_2N_2+\dots+M_{30}N_{30}=\frac{1}{2}×20+(\frac{1}{2})^2×20+\dots+(\frac{1}{2})^{30}×20=20×[\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2+\dots+(\frac{1}{2})^{30}]=20×[1-(\frac{1}{2})^{30}]=20-\frac{5}{2^{28}}$,所以每次的两个中点所形成的所有线段之和 $M_1N_1+M_2N_2+M_3N_3+\dots+M_{30}N_{30}$ 的值为 $20-\frac{5}{2^{28}}$.