24.（6分）（2026·江苏徐州期末）某种产品的形状是长方体，长为8 cm，它的平面展开图如图所示.
（1）求这个长方体的体积；
（2）请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装10件这种产品，要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少.（纸箱的表面积尽可能小）
答案：24. (1) 设这个长方体的高为$x$ cm,则这个长方体的宽为$(12-2x)\mathrm{cm}$. 由题意,得$25-2×8-x=12-2x$,解得$x=3$,则$12-2x=6$,所以这个长方体的长为8 cm,宽为6 cm,高为3 cm,所以这个长方体的体积为$8×6×3=144(\mathrm{cm}^3)$.
(2) 当包装纸箱的长为15 cm,宽为12 cm,高为8 cm时,所用材料最少。
25. (8分)新素养 推理能力 如图,图①~④都是平面图形.
(1) 每个图中各有多少个顶点?多少条边?这些边围出多少个区域?请将结果填入表格中;
(2) 根据(1)中的结论,推断出一个平面图形的边数E、区域数S与顶点数$V(V≥4$且为偶数$)$之间的数量关系.
答案：25. (1) 填表如下:
|图序|顶点数V|边数E|区域数S|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|①|4|6|3|
|②|6|9|4|
|③|8|12|5|
|④|10|15|6|
(2) 由(1),得$V+S-E=1$。
