15. 已知线段$AB=8$，$C$是$AB$的中点，点$D$在直线$CB$上，且$BD=1.5$，则线段$CD$的长为
2.5或5.5
.
答案：15. 2.5或5.5 解析:因为$AB=8$,$C$是$AB$的中点,所以$BC=\frac{1}{2}AB=4$.因为$BD=1.5$,所以分类讨论如下:① 当点$D$在线段$CB$上时,$CD=BC-BD=2.5$;② 当点$D$在线段$CB$的延长线上时,$CD=BC+BD=5.5$.综上所述,线段$CD$的长为2.5或5.5.
16. 一副直角三角板($∠ BAC=∠ DAE=90°,∠ C=30°,∠ ADE=∠ E=45°$)按如图所示的方式放置,将三角板ADE绕点A逆时针旋转$∠α$($0°＜∠α＜90°$),使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直,则$∠α$的度数为
15°或60°
.
（第16题）
答案：16. 15°或60° 解析:分类讨论如下:① 当$DE⊥BC$时,设$DE$分别与$BC,AC$交于点$M,N$,则$∠CMN=90°$.因为$∠C=30°$,所以$∠CNM=180°-∠CMN-∠C=60°$,所以$∠ANM=180°-∠CNM=120°$.因为$∠ADE=45°$,所以$∠CAD=180°-∠ADE-∠ANM=15°$,即$∠α=15°$;② 当$AD⊥BC$时,设$AD$与$BC$交于点$P$,则$∠APC=90°$,所以$∠CAD=180°-∠APC-∠C=60°$,即$∠α=60°$.综上所述,$∠α$的度数为$15°$或$60°$.
17. (2026·江苏苏州期末)如图,已知A是射线BE上一点,过点A画$AC⊥BF$,垂足为C,过点C画$CD⊥BE$,垂足为D.给出下列结论:① $∠1$是$∠ACD$的余角;② 图中互余的角共有3对;③ 图中$∠1$的补角只有$∠DCF$;④ 图中与$∠ADC$互补的角共有3个.其中正确的是
①④
.(填序号)
答案：17. ①④ 解析:因为$AC⊥BF$,所以$∠ACB=∠ACF=90°$,所以$∠ACD+∠1=90°$,所以$∠1$是$∠ACD$的余角,故①正确;因为$CD⊥BE$,所以$∠ADC=∠BDC=90°$,所以$∠DAC+∠ACD=180°-∠ADC=90°$,$∠B+∠1=180°-∠BDC=90°$.因为$∠ACB=90°$,所以$∠1+∠ACD=90°$,$∠B+∠BAC=180°-∠ACB=90°$,所以题图中互余的角共有4对,故②错误;因为$∠1+∠DCF=180°$,所以$∠DCF$是$∠1$的补角.因为$∠1+∠ACD=90°$,$∠DAC+∠ACD=90°$,所以$∠1=∠DAC$.因为$∠DAC+∠CAE=180°$,所以$∠1+∠CAE=180°$,所以$∠CAE$也是$∠1$的补角,故③错误;因为$∠ADC=90°$,$∠BDC=∠ACB=∠ACF=90°$,所以题图中与$∠ADC$互补的角共有3个,故④正确.
18. 亮点原创·如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点……
按照这样的规律，则2026条直线两两相交最多有
2051325
个交点。
答案：18. 2 051 325 解析:因为3条直线两两相交最多有$1+2=3$(个)交点,4条直线两两相交最多有$1+2+3=6$(个)交点……所以按照这样的规律,2026条直线两两相交最多有$1+2+3+\dots+2025=\frac{(1+2025)×2025}{2}=2051325$(个)交点.
三、耐心解一解(共46分)
19. (6分)新素养 几何直观 在如图所示的方格纸中，C是$∠ AOB$的边OB上的一点，按下列要求画图并解答问题：
(1) 过点C画OB的垂线，交OA于点D.该垂线经过的格点有哪些？请在图中标出该垂线所经过的格点；(网格线的交点称为格点)
(2) 过点C画OA的垂线，垂足为E.
① 线段CE的长是点C到直线
OA
的距离，线段
CD
的长是点D到直线OB的距离；
② 因为直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以CD，CE，OD，OC这四条线段长度的大小关系是
CE＜CD＜OC＜OD
；(用“＜”号连接)
(3) 过点D画直线$DF// OB$.若$∠ AOB=x°$，则$∠ ADC=$
(90+x)°
.(用含x的式子表示)
答案：19. (1) 如图,该垂线经过的格点有点C,D,M,N.
(2) 如图所示.
① OA CD ② $CE＜CD＜OC＜OD$
(3) 如图所示。 $(90+x)°$
