23. (6分)(2026·江苏常州期末)如图，O为直线AB上一点，OC为射线，OD，OE分别为∠AOC，∠BOC的平分线.
(1) 判断射线OD，OE之间的位置关系，并说明理由；
(2) 若∠AOD＝30°，试说明：OC为∠AOE的平分线；
(3) 若∠AOD：∠AOE＝2：11，求∠BOE的度数.
答案：23. (1) $OD⊥OE$.理由如下:因为OD平分$∠AOC$,OE平分$∠BOC$,所以$∠AOD=∠COD=\frac{1}{2}∠AOC$,$∠BOE=∠COE=\frac{1}{2}∠BOC$,所以$∠DOE=∠COD+∠COE=\frac{1}{2}(∠AOC+∠BOC)=\frac{1}{2}×180°=90°$,所以$OD⊥OE$.
(2) 因为$∠AOD=30°$,所以$∠COD=∠AOD=30°$,$∠AOC=2∠AOD=60°$.因为$∠DOE=90°$,所以$∠COE=∠DOE-∠COD=60°$,所以$∠AOC=∠COE$,所以OC为$∠AOE$的平分线.
(3) 因为$∠AOD:∠AOE=2:11$,所以设$∠AOD=2x°$,则$∠AOE=11x°$,所以$∠DOE=∠AOE-∠AOD=9x°$.又$∠DOE=90°$,所以$9x=90$,解得$x=10$,所以$∠AOE=110°$,所以$∠BOE=180°-∠AOE=70°$.
24.（4分）亮点原创 钟表在12时三针重合，经过x min后，秒针第二次将分针和时针所夹的锐角平分，求x的值。
答案：24. 秒针、分针、时针转动的速度分别为$360°/\mathrm{min}$,$6°/\mathrm{min}$,$0.5°/\mathrm{min}$,显然$x$的值大于2且小于3,则有$6x-360(x-2)=360(x-2)-0.5x$,解得$x=\frac{2880}{1427}$.
