例 把12,18,33,35,36,65,77,104这八个数分成两组,使每组四个数的乘积相等。
+ 思路分析 要使两组数的乘积相等,就必须使这两组数的乘积中所含的质因数完全相同。因此,可先将这八个数分别分解质因数。$12=2×2×3$,$18=2×3×3$,$33=3×11$,$35=5×7$,$36=2×2×3×3$,$65=5×13$,$77=7×11$,$104=2×2×2×13$,可见一共有8个质因数2,6个质因数3,2个质因数5,2个质因数7,2个质因数11,2个质因数13。104和65要分在不同的组里,因为含有质因数13的只有这两个数;又因为65里含有质因数5,所以35和104应分在同一组;因为35里有质因数7,所以77必须和65一组;同理,33和104一组。又因为共有8个质因数2,每组应有4个质因数2,所以33,35,104和18为一组,77,65,36和12为另一组。
+ 规范解答 $(2×2×3)×(2×2×3×3)×(5×13)×(7×11)=(2×3×3)×(3×11)×(5×7)×(2×2×2×13)$
即 $12×36×65×77=18×33×35×104$
答:这两组数分别是12,36,65,77和18,33,35,104。
技巧归纳 将所给的数分别分解质因数,再对分解得到的质因数进行适当的分析、组合,使得两组数中含有相同的质因数,且同一质因数的个数也相同,就能使得分的两组数的乘积相等。
答案：$12=2×2×3$
$18=2×3×3$
$33=3×11$
$35=5×7$
$36=2×2×3×3$
$65=5×13$
$77=7×11$
$104=2×2×2×13$
$12×36×65×77=18×33×35×104$
答：这两组数分别是12,36,65,77和18,33,35,104。
+ 跟踪练习 把12,30,42,44,57,91,95,143这八个数分成两组,每组四个数,使两组数的乘积相等,可以怎样分?
答案：12,42,95,143 为一组,30,44,57,91为一组。
可先把各数分解质因数:12=2×2×3,30=2×3×5,42=2×3×7,44=2×2×11,57=3×19,91=7×13,95=5×19,143=11×13,然后把相同的质因数平均分成两组,重新分配、组合即可。
