4. 如图，AB=AD，∠C=∠E，且∠BAE=∠DAC. 求证：△ABC≌△ADE.
（第4题）
答案：证明：
∵ ∠BAE = ∠DAC，
∴ ∠BAE + ∠EAC = ∠DAC + ∠EAC，
即 ∠BAC = ∠DAE。
在△ABC和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}∠C = ∠E, \\∠BAC = ∠DAE, \\AB = AD,\end{array} $
∴ △ABC ≌ △ADE（AAS）。
5. 如图，$AD// BC$，$∠ BAD=90°$，以点$B$为圆心，$BC$长为半径画弧，与$AD$相交于点$E$，连接$BE$，过点$C$作$CF⊥ BE$，垂足为$F$. 线段$BF$与图中已有的哪一条线段相等？将猜想出的结论填写在下面的横线上并证明.
结论：$BF=\_\_\_\_\_\_$.
答案：结论：$BF=\boldsymbol{AE}$。
证明：
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ AEB = ∠ CBE$。
∵ $CF⊥ BE$，$∠ BAD=90°$，
∴ $∠ A = ∠ CFB = 90°$。
由作图过程可知，$BE = BC$。
在$△ ABE$和$△ FCB$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ CFB \\∠ AEB = ∠ FBC \\BE = CB\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ FCB$（AAS），
∴ $BF = AE$。
6. 如图，在$△ ABC$中，$AD$是$∠ BAC$的平分线，点$E$，$F$分别在边$AB$，$AC$上，$∠ AED=∠ CFD$. 求证：$DE=DF$.
答案：证明：
过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N。
∵ AD是∠BAC的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴ DM = DN，∠DME = ∠DNF = 90°。
在△DME和△DNF中，
$\{\begin{array}{l}∠AED = ∠CFD \\∠DME = ∠DNF \\DM = DN\end{array} $
∴ △DME ≌ △DNF（AAS），
∴ DE = DF。
7. 如图，$∠ D=∠ BAC=∠ E$，$AB=AC$. 探索$DE$，$BD$，$CE$之间的长度关系，并说明理由.
答案：解：$DE=BD+CE$，理由如下：
∵ $∠ DBA + ∠ D + ∠ DAB = 180°$，
$∠ DAB + ∠ BAC + ∠ CAE = 180°$，
又∵ $∠ D = ∠ BAC$，
∴ $∠ DBA = ∠ CAE$。
在$△ BDA$和$△ AEC$中，
$\begin{cases}∠ D = ∠ E \\∠ DBA = ∠ CAE \\AB = AC\end{cases}$
∴ $△ BDA ≌ △ AEC$（AAS）。
∴ $BD = AE$，$AD = CE$。
∵ $DE = AD + AE$，
∴ $DE = BD + CE$。
