如图3-4,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=3\ \mathrm{cm}$,$BC=4\ \mathrm{cm}$. 画一个$△ DEF$,使$DF=3\ \mathrm{cm}$,$EF=4\ \mathrm{cm}$,$DE=5\ \mathrm{cm}$. $△ ABC$与$△ DEF$全等吗? $△ DEF$是直角三角形吗? 请说明理由.
答案：解：
△ABC与△DEF全等，△DEF是直角三角形，理由如下：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，
因此 $AB = 5\ \mathrm{cm}$。
在$△ DEF$中，$DF=3\ \mathrm{cm}$，$EF=4\ \mathrm{cm}$，$DE=5\ \mathrm{cm}$，
可得 $DF^2 + EF^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，$DE^2 = 5^2 = 25$，
所以 $DF^2 + EF^2 = DE^2$，
根据勾股定理的逆定理，$△ DEF$是直角三角形，且$∠ F=90°$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\begin{cases}AC = DF = 3\ \mathrm{cm} \\BC = EF = 4\ \mathrm{cm} \\AB = DE = 5\ \mathrm{cm}\end{cases}$
所以$△ ABC ≌ △ DEF$（SSS）。
例1 如图3-5，在四边形ABCD中，AB=20，AD=15，CD=7，BC=24，∠A=90°. 求证：∠C=90°.
答案：证明：连接BD。
∵ ∠A=90°，AB=20，AD=15，
∴ 在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2 = AD^2 + AB^2 = 15^2 + 20^2 = 625$。
又∵ CD=7，BC=24，
∴ $CD^2 + BC^2 = 7^2 + 24^2 = 625$。
∴ $CD^2 + BC^2 = BD^2$。
由勾股定理的逆定理可知，△BCD是直角三角形，且∠C=90°。
例2 一个三角形的三边比为$1:\sqrt{3}:2$，这个三角形是直角三角形吗？请证明你的结论。
答案：证明：这个三角形是直角三角形。
设三角形的三边长分别为$k$，$\sqrt{3}k$，$2k$（其中$k＞0$）。
$\because (2k)^2 = 4k^2$，
$k^2 + (\sqrt{3}k)^2 = k^2 + 3k^2 = 4k^2$，
$\therefore k^2 + (\sqrt{3}k)^2 = (2k)^2$。
根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形。
1. 如果三角形的三边长a,b,c满足
，那么这个三角形是直角三角形。
答案：解：$a^2 + b^2 = c^2$
