答案：解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD=BC=10 cm，AB=CD=8 cm，∠B=∠C=90°。
由折叠的性质得：AF=AD=10 cm，EF=DE。
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
$BF^2 = AF^2 - AB^2 = 10^2 - 8^2 = 36$，
∴ BF=6 cm，
∴ FC = BC - BF = 10 - 6 = 4 cm。
设CE = x cm，则DE = CD - CE = (8 - x) cm，
∴ EF = DE = (8 - x) cm。
在Rt△EFC中，由勾股定理得：
$CE^2 + FC^2 = EF^2$，
即 $x^2 + 4^2 = (8 - x)^2$，
展开得 $x^2 + 16 = 64 - 16x + x^2$，
整理得 16x = 48，
解得 x = 3。
答：CE的长为3 cm。

答案：解：
将长方体的表面展开，蚂蚁从点A到点B共有三种不同的展开路径，分别用勾股定理计算路径长度：
1. 将点A所在的右侧面与点B所在的前侧面展开到同一平面，此时两条直角边的长度分别为20 cm和$10+5=15$ cm，
可得$AB=\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{625}=25\ \mathrm{cm}$。
2. 将点A所在的右侧面与点B所在的上顶面展开到同一平面，此时两条直角边的长度分别为$20+5=25$ cm和10 cm，
可得$AB=\sqrt{25^2+10^2}=\sqrt{725}=5\sqrt{29}\ \mathrm{cm}$。
3. 将点A所在的下底面与点B所在的前侧面展开到同一平面，此时两条直角边的长度分别为$20+10=30$ cm和$15-5=10$ cm，
可得$AB=\sqrt{30^2+10^2}=\sqrt{1000}=10\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。
因为$25＜5\sqrt{29}＜10\sqrt{10}$，所以最短路径长度为25 cm。
答：蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B需要爬行的最短路程是25 cm。

答案：解：(1) 设$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$。
图①中3个正方形的面积分别为$S_{BC}=a^2$，$S_{AC}=b^2$，$S_{AB}=c^2$，因此面积关系为：
以两条直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积，即$\boldsymbol{S_{BC} + S_{AC} = S_{AB}}$。
图②中3个半圆的面积分别为$S_{BC}=\frac{1}{2}π·(\frac{a}{2})^2=\frac{π a^2}{8}$，$S_{AC}=\frac{1}{2}π·(\frac{b}{2})^2=\frac{π b^2}{8}$，$S_{AB}=\frac{1}{2}π·(\frac{c}{2})^2=\frac{π c^2}{8}$，代入$a^2+b^2=c^2$得面积关系为：
以两条直角边为直径的半圆的面积之和等于以斜边为直径的半圆的面积，即$\boldsymbol{S_{BC} + S_{AC} = S_{AB}}$。
(2) 发现：以直角三角形三边为对应边向外作任意相似图形，斜边上的图形的面积等于两条直角边上的图形的面积之和。
设计问题：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，分别以三边为边长向外作等边三角形，求证：斜边上的等边三角形的面积等于两条直角边上的等边三角形的面积之和。
解答：设三边上的等边三角形面积分别为$S_1$（以$BC$为边）、$S_2$（以$AC$为边）、$S_3$（以$AB$为边），
则$S_1=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，$S_2=\frac{\sqrt{3}}{4}b^2$，$S_3=\frac{\sqrt{3}}{4}c^2$，
由勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，两边同乘$\frac{\sqrt{3}}{4}$得：
$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 + \frac{\sqrt{3}}{4}b^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}c^2$，即$S_1 + S_2 = S_3$，结论成立。