5. 某商店销售某种商品，每件进价为40元，经调查发现，平均日销售量y（单位：件）与每件商品售价x（单位：元）之间满足一次函数关系，部分数据如表25.3-1所示.
表25.3-1
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）该商品日销售利润能否达到1 000元？如果能，求出每件商品售价；如果不能，请说明理由.
答案：解：
(1) 设y关于x的函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将$(90,10)$，$(80,20)$代入解析式得：
$\begin{cases}90k + b = 10 \\80k + b = 20 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k=-1 \\b=100 \end{cases}$
所以y关于x的函数解析式为$y=-x+100$。
(2) 该商品日销售利润不能达到1000元，理由如下：
根据日销售总利润=每件利润×平均日销售量，列方程得：
$(x-40)(-x+100)=1000$
整理得：
$x^2 -140x +5000=0$
计算判别式：
$\Delta=(-140)^2 -4×1×5000=19600-20000=-400＜0$
该一元二次方程没有实数根，不存在满足条件的商品售价。
答：该商品日销售利润不能达到1000元。
解析：
【分析】
（1）已知y与x满足一次函数关系，因此采用待定系数法求解：先设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），选取表格中两组x、y的对应值代入解析式，得到关于k和b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可得到y关于x的函数解析式。
（2）销售利润的等量关系为：日销售总利润=每件商品的利润×平均日销售量。其中每件利润为（x-40）元，平均日销售量为第（1）问求得的y，据此列方程，将方程整理为一元二次方程的一般形式后，计算根的判别式，若判别式≥0则方程有实根，即利润能达到1000元，反之则不能。
【解析】
(1) 设y关于x的函数解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将表格中$(90,10)$，$(80,20)$两组值代入解析式得：
$\begin{cases}90k + b = 10 \\80k + b = 20 \end{cases}$
用第一个方程减第二个方程，得$10k=-10$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$80k + b = 20$，得$-80+b=20$，解得$b=100$，
所以y关于x的函数解析式为$y=-x+100$。
(2) 该商品日销售利润不能达到1000元，理由如下：
根据“日销售总利润=每件利润×平均日销售量”列方程：
$(x-40)(-x+100)=1000$
展开并整理得：
$x^2 -140x +5000=0$
计算该一元二次方程的判别式：
$\Delta=(-140)^2 -4×1×5000=19600-20000=-400＜0$
因此该一元二次方程没有实数根，即不存在满足条件的商品售价。
【答案】
(1) $y=-x+100$
(2) 不能达到1000元
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；销售利润问题；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一次函数与一元二次方程结合的实际应用题，解题的关键是理清销售问题中的数量关系，先求出销售量的函数表达式，再结合利润公式列方程，通过根的判别式判断方程解的情况即可解决问题，注重考察知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
6. 已知整数$m$与整数$n$的平方之和可以表示为$m^2 + n^2$，现有两个连续的正整数.
（1）若这两个连续的正整数中，较小的数是3，它们的平方之和是多少？
（2）若这两个连续正整数的平方之和是41，则这两个正整数分别是多少？
答案：解：
（1）由题意得，较小的正整数是3，则与之连续的较大正整数为4，
它们的平方和为：$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$。
（2）设较小的正整数为$x$，则较大的连续正整数为$x+1$，
根据题意列方程：
$x^2 + (x+1)^2 = 41$
展开整理得：
$2x^2 + 2x - 40 = 0$
化简为：
$x^2 + x - 20 = 0$
因式分解得：
$(x+5)(x-4) = 0$
解得：$x_1 = 4$，$x_2 = -5$。
因为$x$是正整数，$x=-5$不符合题意，舍去，
则$x+1 = 4+1 = 5$。
答：（1）它们的平方之和是25；（2）这两个正整数分别是4和5。
解析：
【分析】
（1）解题思路：已知两个连续正整数中较小的数是3，根据连续正整数的特征，先求出较大的数为3+1=4，再按照平方和的定义，分别计算两个数的平方后相加即可得到结果。
（2）解题思路：本题属于已知等量关系求未知量的问题，适合用方程法求解。首先设较小的正整数为x，则较大的连续正整数可表示为x+1，根据“两个数的平方和为41”的等量关系列一元二次方程，解方程后注意x是正整数，需舍去不符合取值要求的根，最终即可得到两个正整数。
【解析】
（1）由题意得，较小的正整数是3，则与之连续的较大正整数为3+1=4，
它们的平方和为：$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$。
（2）设较小的正整数为$x$，则较大的连续正整数为$x+1$，
根据题意列方程：
$x^2 + (x+1)^2 = 41$
展开整理得：
$2x^2 + 2x - 40 = 0$
化简为：
$x^2 + x - 20 = 0$
因式分解得：
$(x+5)(x-4) = 0$
解得：$x_1 = 4$，$x_2 = -5$。
因为$x$是正整数，$x=-5$不符合题意，舍去，
则$x+1 = 4+1 = 5$。
【答案】
（1）25；（2）4和5
【知识点】
连续整数的表示、一元二次方程的解法、一元二次方程的实际应用
【点评】
本题整体较为基础，第一问考查简单的平方和运算，直接按定义计算即可；第二问需要结合未知数的实际取值范围对方程的根进行取舍，考查了运用方程思想解决实际问题的能力，是一元二次方程应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
