1. 方程$x^2=16$的根是（
）.
A.$x=\pm4$
B.$x=4$
C.$x=-4$
D.$x=16$
答案：A
解析：
【分析】
本题考查一元二次方程的解法，适合用直接开平方法求解。解题思路如下：首先观察方程形式为$x^2=a$（$a≥0$）的标准形式，符合直接开平方法的使用条件；再根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，即可求出方程的两个根，最后对应选项选出正确答案即可，解题时要注意不要遗漏负根。
【解析】
对于方程$x^2=16$，利用直接开平方法，两边同时开平方可得：
$x=\pm\sqrt{16}$
计算得$x=\pm4$，即方程的根为$x=4$和$x=-4$，合并表示为$x=\pm4$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，易错点是容易忽略正数的平方根有两个，只取正根导致错选。
【难度系数】
0.9
2. 一元二次方程$(x-2)^2=0$的根是（
）.
A.$x=2$
B.$x_1=-2, x_2=2$
C.$x_1=x_2=2$
D.$x_1=0, x_2=2$
答案：C
解析：
【分析】
本题可采用直接开平方法求解，解题思路如下：首先观察方程形式，左边是关于x的完全平方式，右边为0，符合直接开平方法的适用条件；其次要注意一元二次方程有两个实数根，若两根相等，需按规范形式表示，不能仅写单个根。
【解析】
对于方程$(x-2)^2=0$，使用直接开平方法，两边同时开平方得：
$x-2=\pm\sqrt{0}$
化简得$x-2=0$，解得$x=2$。
因为一元二次方程的重根需按两个相等的根表示，所以该方程的根为$x_1=x_2=2$。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程根的表示
【点评】
本题是基础题型，主要考查特殊形式一元二次方程的解法，解题时需注意根的书写规范，避免因忽略一元二次方程根的个数要求错选A选项。
【难度系数】
0.9
3. 若方程$(x-5)^2 = m -7$可以用直接开平方法求解，则$m$的取值范围是（
）.
A.$m＞0$
B.$m＞7$
C.$m≥7$
D.任意实数
答案：C
解析：
【分析】
要解决这道题，首先需要明确直接开平方法解一元二次方程的适用条件：等号一侧为完全平方式时，另一侧的数必须是非负数，因为在实数范围内负数没有平方根。本题中等号左边已经是$(x-5)^2$这个完全平方式，因此只需让右边的$m-7$满足非负的要求，解对应不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：
∵方程$(x-5)^2 = m -7$可以用直接开平方法求解
根据平方根的意义，平方的被开方数必须是非负数
∴ $m-7≥0$
解得：$m≥7$
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方的非负性
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记直接开平方法的适用前提，明确实数范围内平方数恒为非负数，只要掌握相关基础知识点就能快速得出答案。
【难度系数】
0.85
4. 关于$x$的方程$(x+m)^2 = n$，下列说法正确的是（
）。
A.有两个实数根，为$x = \pm\sqrt{n} - m$
B.当$n ≥ 0$时，有两个实数根，为$x = \pm\sqrt{n} - m$
C.当$n ≤ 0$时，有两个实数根，为$x = \pm\sqrt{n - m}$
D.当$n ≤ 0$时，方程无实数根
答案：B
解析：
【分析】
这道题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题时首先要明确平方数的非负性：任意实数的平方都大于等于0，因此方程左边$(x+m)^2≥0$，只有当右边的$n$也满足非负时，方程才有实数根；若$n＜0$，方程无实数根。接下来再根据直接开平方法的步骤求出根的表达式，最后逐一核对四个选项的正误即可。
【解析】
根据平方根的性质，任意实数的平方是非负数，因此：
1. 当$n＜0$时，方程$(x+m)^2=n$右边为负数，没有实数根；
2. 当$n≥0$时，对等式两边同时开平方，可得$x+m=\pm\sqrt{n}$，移项后得到方程的两个实数根为$x=\pm\sqrt{n}-m$。
逐一分析选项：
A选项：未说明$n≥0$的前提，若$n＜0$方程无实根，错误；
B选项：符合推导结论，正确；
C选项：$n＜0$时方程无实根，且根的表达式书写错误，错误；
D选项：当$n=0$时，方程有两个相等的实数根$x_1=x_2=-m$，并非无实根，错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 平方根的性质
【点评】
本题需要注意开平方运算的前提是被开方数非负，同时要区分$n=0$和$n＜0$两种情况，避免忽略$n=0$时有实根的情况误选错误选项。
【难度系数】
0.75
5. 解下列方程：
(1) $9x^2=25$；
(2) $x^2 - 8=0$；
(3) $2x^2 - 32=0$；
(4) $3(x+1)^2=27$。
答案：解：
(1) 方程两边同除以9，得
$x^2=\frac{25}{9}$
直接开平方，得
$x=\pm\frac{5}{3}$
所以 $x_1=\frac{5}{3}$，$x_2=-\frac{5}{3}$。
(2) 移项，得
$x^2=8$
直接开平方，得
$x=\pm2\sqrt{2}$
所以 $x_1=2\sqrt{2}$，$x_2=-2\sqrt{2}$。
(3) 移项，得
$2x^2=32$
方程两边同除以2，得
$x^2=16$
直接开平方，得
$x=\pm4$
所以 $x_1=4$，$x_2=-4$。
(4) 方程两边同除以3，得
$(x+1)^2=9$
直接开平方，得
$x+1=\pm3$
当$x+1=3$时，$x=2$；
当$x+1=-3$时，$x=-4$。
所以 $x_1=2$，$x_2=-4$。
解析：
【分析】
这4道题均为无一次项的一元二次方程，适合采用直接开平方法求解。解题时先通过移项、将平方项系数化为1的操作，把方程转化为“含未知数的完全平方式等于非负常数”的形式，再根据平方根的定义开平方，将二次方程降次为两个一次方程分别求解，注意开平方后结果有正负两个，避免漏解。
【解析】
(1) 方程两边同除以9，得
$x^2=\frac{25}{9}$
直接开平方，得
$x=\pm\frac{5}{3}$
所以 $x_1=\frac{5}{3}$，$x_2=-\frac{5}{3}$。
(2) 移项，得
$x^2=8$
直接开平方，得
$x=\pm2\sqrt{2}$
所以 $x_1=2\sqrt{2}$，$x_2=-2\sqrt{2}$。
(3) 移项，得
$2x^2=32$
方程两边同除以2，得
$x^2=16$
直接开平方，得
$x=\pm4$
所以 $x_1=4$，$x_2=-4$。
(4) 方程两边同除以3，得
$(x+1)^2=9$
直接开平方，得
$x+1=\pm3$
当$x+1=3$时，$x=2$；
当$x+1=-3$时，$x=-4$。
所以 $x_1=2$，$x_2=-4$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{5}{3}$，$x_2=-\frac{5}{3}$；
(2) $x_1=2\sqrt{2}$，$x_2=-2\sqrt{2}$；
(3) $x_1=4$，$x_2=-4$；
(4) $x_1=2$，$x_2=-4$。
【知识点】
直接开平方法、平方根性质、一元二次方程求解
【点评】
本题属于解一元二次方程的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题关键是将方程整理为平方项等于非负常数的形式，开平方时需注意不要遗漏负根，掌握该方法是后续求解复杂一元二次方程的基础。
【难度系数】
0.8
