【分析】
首先识别尺规作图的结果：直线MN是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得到AD=BD，进而推出∠ABD=∠BAC=30°；再结合圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠AOE的度数。
【解析】
1. 由尺规作图的方法可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$ DA=DB $，因此$ ∠ ABD = ∠ BAC = 30° $，即$ ∠ ABE=30° $。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍，$ ∠ AOE $是弧$ AE $所对的圆心角，$ ∠ ABE $是弧$ AE $所对的圆周角，因此$ ∠ AOE=2∠ ABE=2×30°=60° $。
【答案】
$ 60° $
【知识点】
线段垂直平分线的性质，圆周角定理
【点评】
本题考查了尺规作图的识别、线段垂直平分线性质及圆周角定理的应用，解题的关键是先判断出MN是AB的垂直平分线，再结合圆周角定理计算角度，属于基础类的常考题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先明确量角器的外缘为半圆，点A、B、C都在该半圆所在的圆上，量角器的中心即为该圆的圆心。首先根据A、B两处的读数差求出弧AB所对的圆心角∠AOB的度数，再根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，即可求出∠ACB的度数。
【解析】
设量角器的圆心为点O，连接OA、OB。
由题意得，弧AB对应的圆心角$∠ AOB=86°-30°=56°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，
可得$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×56°=28°$。
【答案】
$28°$
【知识点】
圆周角定理，量角器的使用
【点评】
本题结合量角器考查圆周角定理的应用，解题关键是准确求出同弧对应的圆心角度数，再利用圆周角和圆心角的关系求解，属于基础几何应用题，需熟练掌握圆周角定理的内容。
【难度系数】
0.7

【分析】
看到题干中的“圆内接四边形”，首先联想其核心性质：对角互补，即相对的两个内角度数和为180°。本题中∠A与∠C是圆内接四边形的一组对角，已知二者的度数比为1:2，我们可以通过设未知数，结合对角互补的性质列方程求解∠A的度数。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ 根据圆内接四边形对角互补的性质，得：∠A + ∠C = 180°，
已知∠A:∠C = 1:2，设∠A = x，则∠C = 2x，
代入角度和关系得：x + 2x = 180°，
合并同类项得3x = 180°，
解得x = 60°，即∠A = 60°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 圆内接四边形对角互补
2. 比例角度计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆内接四边形的核心性质，结合简单的比例关系即可求解，熟练掌握相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8