【分析】
解题时需先回忆圆的切线的判定条件，明确切线的两种判定方式：一是根据直线与圆的交点个数，切线与圆仅有1个公共点；二是根据判定定理，切线需同时满足经过半径外端、与该半径垂直，等价于圆心到直线的距离等于半径。接下来逐一核对每个选项是否满足切线的判定要求，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：与圆有公共点的直线可能是和圆相交的直线（相交时有2个公共点），只有和圆有且仅有1个公共点的直线才是圆的切线，故A错误；
B选项：根据直线与圆的位置关系，当圆心到直线的距离等于圆的半径时，直线与圆相切，该直线就是圆的切线，故B正确；
C选项：仅垂直于圆的半径的直线不一定是切线，还需要经过该半径的外端，若直线过圆心且垂直于半径，属于圆的割线，故C错误；
D选项：仅过圆的半径外端点的直线不一定是切线，还需要和该半径垂直，故D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
圆的切线的判定；直线与圆的位置关系
【点评】
本题是基础概念辨析题，核心考查对圆的切线判定条件的掌握，需注意切线的判定必须同时满足两个核心条件，缺少任意一个都不符合切线的定义，做题时要仔细核对每个选项的条件是否完整。
【难度系数】
0.8

【分析】
要判断过点B的直线与圆弧相切，需结合切线的判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。解题思路如下：1. 先确定圆弧所在圆的圆心，圆心是圆弧上任意两条弦的垂直平分线的交点；2. 计算过点B的半径的斜率，根据垂直直线斜率乘积为-1，得到过B点的切线的斜率；3. 写出切线的解析式，逐一验证选项中的点是否在切线上即可。
【解析】
首先确定三个格点的坐标：$A(1,2)$，$B(3,2)$，$C(4,1)$。
步骤1：求圆弧所在圆的圆心
弦AB为水平线段，中点坐标为$(2,2)$，AB的垂直平分线为直线$x=2$；
弦BC的斜率$k_{BC}=\frac{1-2}{4-3}=-1$，因此BC的垂直平分线的斜率为1，BC的中点坐标为$(\frac{3+4}{2},\frac{2+1}{2})=(3.5,1.5)$，则BC的垂直平分线方程为$y-1.5=x-3.5$，即$y=x-2$。
联立$\begin{cases}x=2\\y=x-2\end{cases}$，解得圆心坐标为$(2,0)$，验证可得圆心到A、B、C三点的距离均为$\sqrt{5}$，即圆的半径为$\sqrt{5}$。
步骤2：求过B点的切线解析式
圆心$(2,0)$到$B(3,2)$的半径的斜率$k=\frac{2-0}{3-2}=2$，根据切线与半径垂直，切线的斜率为$k'=-\frac{1}{2}$。
设切线方程为$y-2=-\frac{1}{2}(x-3)$，整理得$y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$。
步骤3：验证选项中的点
A. 点$(0,3)$代入得$y=\frac{7}{2}=3.5≠3$，不在切线上；
B. 点$(6,0)$代入得$y=-\frac{1}{2}×6+\frac{7}{2}=0.5≠0$，不在切线上；
C. 点$(1,3)$代入得$y=-\frac{1}{2}×1+\frac{7}{2}=3$，在切线上；
D. 点$(6,1)$代入得$y=-\frac{1}{2}×6+\frac{7}{2}=0.5≠1$，不在切线上。
因此符合要求的是点$(1,3)$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、切线的判定、一次函数应用
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的典型题型，解题核心是先利用垂径定理确定圆心，再结合切线与半径垂直的性质求出切线方程，通过验证点是否在直线上得到答案，能很好地考察学生对圆的性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
要判定DE是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理，只需证明半径$OD⊥ DE$即可。已知$DE⊥ AC$，因此只要推导出$OD// AC$，就能得到$OD⊥ DE$。接下来分别验证嘉嘉和淇淇给出的条件是否能推出$OD// AC$，即可判断两人的说法是否正确。
【解析】
要证明DE是$\odot O$的切线，需证明$OD⊥ DE$（$OD$是$\odot O$的半径）：
1. 验证嘉嘉的说法：补充条件$AB=AC$
∵ $OD、OB$都是$\odot O$的半径，
∴ $OD=OB$，得$∠ ODB=∠ B$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ C=∠ B$，因此$∠ ODB=∠ C$。
∴ $OD// AC$（同位角相等，两直线平行）。
∵ $DE⊥ AC$，
∴ $∠ DEC=90°$，得$∠ ODE=∠ DEC=90°$，即$OD⊥ DE$。
又$OD$是$\odot O$的半径，因此DE是$\odot O$的切线，嘉嘉的说法正确。
2. 验证淇淇的说法：补充条件$AC// OD$
∵ $DE⊥ AC$，
∴ $∠ DEC=90°$。
∵ $AC// OD$，
∴ $∠ ODE+∠ DEC=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
得$∠ ODE=180°-90°=90°$，即$OD⊥ DE$。
又$OD$是$\odot O$的半径，因此DE是$\odot O$的切线，淇淇的说法正确。
综上两人说法都正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是切线判定的典型题型，解题核心是将证明切线的问题转化为证明直线平行的问题，需要熟练掌握相关几何性质定理灵活应用。
【难度系数】
0.7