【分析】
（1）要找不论k取何值函数都经过的定点，说明该点坐标与k的取值无关，可将函数解析式整理为含k的项和不含k的项的形式，令k的系数为0，即可求出定点的横坐标，再代入求纵坐标。
（2）求函数图象与坐标轴围成的三角形面积，需先求出函数与x轴、y轴的交点坐标，再根据三角形面积公式列方程求解，注意交点到原点的距离是坐标的绝对值，避免漏解。
【解析】
（1）将函数解析式变形为：$y = k(x + 2)$，
因为函数值与k的取值无关，所以$x + 2 = 0$，解得$x = -2$，
将$x=-2$代入解析式，得$y=0$，
所以这个定点的坐标为$(-2, 0)$。
（2）求函数与x轴的交点：令$y=0$，则$kx + 2k = 0$，
因为$k≠0$，解得$x=-2$，即与x轴交点为$(-2, 0)$，该点到原点的距离为$|-2|=2$。
求函数与y轴的交点：令$x=0$，则$y=2k$，即与y轴交点为$(0, 2k)$，该点到原点的距离为$|2k|$。
函数图象与坐标轴围成的三角形是直角三角形，面积$S=\frac{1}{2}×2×|2k|=|2k|$，
由题意得$|2k|=3$，解得$2k=3$或$2k=-3$，即$k=\frac{3}{2}$或$k=-\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $(-2,0)$；(2) $k=\pm\dfrac{3}{2}$
【知识点】
一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，第一问的过定点问题核心是把握“参数取值不影响函数值”的特点求解；第二问解题时要注意坐标的正负性，距离需加绝对值，避免漏掉负数解。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先明确“轴移变换”的规则：对于$T\{m,n\}$，先取原函数$x≥ m$的部分记为$M$，将$M$沿直线$x=m$翻折，再向左平移$n$个单位得到$M'$，最终“距美函数”由原$M$部分和变换后的$M'$部分共同组成。
针对本题：
1. 先求原函数$y=2x+1$经$T\{-1,1\}$变换后的两段解析式：$x≥-1$时保留原解析式$y=2x+1$（增函数）；将$x≥-1$的部分沿$x=-1$翻折再左移1个单位，得到$x≤-2$时的解析式$y=-2x-5$（减函数）。
2. 结合分段解析式，分别求解增减区间、点坐标、不等式解集、交点范围等问题。
【解析】
(1) 距美函数分两段：①$x≥-1$时，$y=2x+1$，$y$随$x$增大而增大；②$x≤-2$时，$y=-2x-5$，$y$随$x$增大而减小。因此$y$随$x$增大而减小时，$x$的取值范围为$x≤-2$，图象按要求绘制即可。
(2) $B(6,n)$在$x≥-1$的区间内，代入$y=2x+1$得$n=2×6+1=13$。$A(m,13)$在$x≤-2$的区间内，代入$y=-2x-5$得$13=-2m-5$，解得$m=-9$。
(3) 分两段解不等式$-1＜y≤3$：
①当$x≥-1$时，$-1＜2x+1≤3$，解得$-1＜x≤1$；
②当$x≤-2$时，$-1＜-2x-5≤3$，解得$-4≤ x＜-2$；
合并解集得$-4≤ x＜-2$或$-1＜x≤1$。
(4) $y=kx+3(k＜0)$经$T\{0,0\}$变换后，距美函数为：①$x≥0$时，$y=kx+3$；②$x≤0$时，$y=-kx+3$。
线段$AB$对应$y=-1$（$-3≤ x≤2$），分别令两段函数值为$-1$：
$x≥0$时，$kx+3=-1$，解得$x=-\frac{4}{k}$（$k＜0$，故$x＞0$），若该交点不在$AB$上，则$-\frac{4}{k}＞2$，解得$k＞-2$；
$x≤0$时，$-kx+3=-1$，解得$x=\frac{4}{k}$（$k＜0$，故$x＜0$），若该交点在$AB$上，则$\frac{4}{k}≥-3$，解得$k≤-\frac{4}{3}$；
结合$k＜0$，得$k$的取值范围为$-2＜k≤-\frac{4}{3}$。
【答案】
(1) 如图，$x≤ -2$
(2) $-9$
(3) $-4≤ x＜-2$或$-1＜x≤ 1$
(4) $-2＜k≤ -\dfrac{4}{3}$
【知识点】
一次函数图象变换，一次函数性质，一次函数交点问题
【点评】
本题以新定义为背景，考查一次函数的翻折、平移变换，以及一次函数增减性、解不等式、交点判断等内容，需要分区间讨论函数解析式，准确理解新定义的变换规则是解题的关键。
【难度系数】
0.55