6. 有一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度(单层部分与双层部分长度的和)加长或缩短，设双层部分的长度为x cm，单层部分的长度为y cm，经测量，得到下表中的数据：
(1) 说明y是x的函数，并写出y关于x的函数表达式；
(2) 按小华的身高和习惯，背带的长度调为130 cm时最佳，请计算单层部分的长度.
答案：6.（1）背带面料的长度固定不变，单层部分长度y随双层部分长度x的变化而变化，当x取一个确定的值时，y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数.由表格可知，双层部分长度x增加1 cm，单层部分长度y减少2 cm，则y=148−2(x−2)=−2x+152，所以y关于x的函数表达式为y=−2x+152
（2）令−2x+152=130.解得x=22.而130−22=108，所以此时单层部分的长度为108 cm
解析：
【分析】
针对第(1)问：首先根据函数的定义判断，在背带调节的过程中，双层部分长度x是自变量，单层部分长度y随x的变化而变化，且对x的每一个确定值，y都有唯一确定的值对应，即可证明y是x的函数；再观察数据变化规律，x每增加1cm，y减少2cm，可知y与x是一次函数关系，结合已知数据用待定系数法即可求出函数表达式。
针对第(2)问：背带总长度为单层部分与双层部分的和，即x+y，已知总长度为130cm，将第(1)问得到的函数表达式代入，先求出x的值，再用总长度减去x即可得到单层部分的长度。
【解析】
(1) 由于背带面料的总长度固定不变，在调节背带时，单层部分长度y随双层部分长度x的变化而变化，当x取一个确定的值时，y都有唯一的值与它对应，因此y是x的函数。
观察数据可知，双层部分长度x每增加1cm，单层部分长度y减少2cm，即y与x成一次函数关系，设函数表达式为$y=kx+b$，取表格中$x=2$时$y=148$、$x=3$时$y=146$代入得：
$\begin{cases}2k+b=148 \\3k+b=146 \end{cases}$
解得$k=-2$，$b=152$，因此y关于x的函数表达式为$y=-2x+152$。
(2) 由题意得背带总长度为$x+y=130\mathrm{cm}$，将$y=-2x+152$代入得：
$x+(-2x+152)=130$
解得$x=22$，因此单层部分的长度为$130-22=108(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) $y$是$x$的函数，函数表达式为$\boldsymbol{y=-2x+152}$；
(2) 单层部分的长度为$\boldsymbol{108\mathrm{cm}}$。
【知识点】
函数的定义，一次函数表达式求解，一次函数实际应用
【点评】
本题结合生活常见的背包调节场景考查一次函数的相关知识，解题核心是准确理解背带长度的构成逻辑，理清变量间的数量关系，能有效提升学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
7. 某动力科学研究院的实验室内装有一段笔直的轨道AB，长度为1 m的金属滑块在上面做往返滑动. 如图，滑块首先沿AB方向从左向右匀速滑动，滑动速度为9 m/s，滑动开始前滑块左端与点A重合，当滑块右端到达点B时，停顿2 s，然后再以小于9 m/s的速度匀速返回，直到左端与点A重合，滑动停止. 设当时间为$t$ s时，滑块左端和点A的距离为$l_1$ m，右端和点B的距离为$l_2$ m，记$d=l_1 - l_2$，$d$与$t$具有函数关系，已知滑块在从左向右滑动的过程中，当$t=4.5$ s和$5.5$ s时，与之对应的$d$的两个值互为相反数；滑块从点A出发到最后返回点A，整个过程总用时27 s(含停顿时间). 请你根据所给条件解决下列问题：
（1）滑块从点A到点B的滑动过程中，$d$的值
由负到正
（填“由负到正”或“由正到负”）；
（2）写出滑块从点B到点A滑动过程中$d$关于$t$的函数表达式；
（3）在整个往返过程中，求当$d=18$ m时，$t$的值.
答案：7.（1）由负到正
（2）$d=-12t+234$
（3）当$t=6$或18时，$d=18$
解析：
【分析】
首先明确各量的含义：滑块长1m，$l_1$是$t$时刻滑块左端到A的距离，$l_2$是右端到B的距离，$d=l_1-l_2$。
（1）判断$d$的变化：初始时$l_1=0$，$l_2＞0$，$d$为负；滑块右滑到右端抵B时，$l_2=0$，$l_1＞0$，$d$为正，即可判断变化趋势。
（2）先求轨道AB长度：向右滑动时$d$是关于$t$的一次函数，$t=4.5$和$5.5$时$d$互为相反数，说明$t=5$时$d=0$，代入向右滑动时$d$的表达式求出AB总长，再计算向右滑动时间、停顿时间，得到返回滑动的速度，最后结合返回时$l_1$、$l_2$的表达式推导$d$关于$t$的函数。
（3）分向右滑动、返回滑动两个阶段，分别令$d=18$解方程，检验解是否在对应时间段内即可。
【解析】
设轨道AB总长为$L$ m。
（1）滑块从A向右滑动初始时刻，左端与A重合，$l_1=0$，右端距B的距离$l_2=L-1＞0$，故$d=0-(L-1)＜0$；当滑块右端到达B时，$l_2=0$，$l_1=L-1＞0$，故$d=(L-1)-0＞0$，因此$d$的值由负到正。
（2）①求AB长度：滑块向右滑动速度为9m/s，$t$ s时$l_1=9t$，右端位置为$9t+1$，故$l_2=L-(9t+1)$，因此$d=l_1-l_2=9t - [L-(9t+1)] =18t +1 - L$。
已知$t=4.5$和$t=5.5$时$d$互为相反数，一次函数呈线性对称，故$t=\frac{4.5+5.5}{2}=5$时，$d=0$，代入得：$18×5 +1 - L=0$，解得$L=91$ m。
②求向右滑动时间：滑块右端到B需要滑动的距离为$L-1=90$ m，速度9m/s，故向右滑动时间为$90÷9=10$ s，即$0≤t≤10$时为向右滑动阶段。
③求返回速度：总用时27s，停顿2s（$10＜t＜12$），故返回滑动时间为$27-10-2=15$ s，返回路程为90m，故返回速度为$90÷15=6$ m/s。
④推导返回阶段$d$的表达式：返回阶段$t≥12$s，此时$t$时刻滑块左端距A的距离$l_1=90 - 6(t-12)=162-6t$；右端距B的距离$l_2=91 - (l_1+1)=90 - l_1$，因此$d=l_1 - l_2=l_1 - (90 - l_1)=2l_1 - 90$，代入$l_1=162-6t$得：$d=2(162-6t)-90=-12t+234$，取值范围为$12≤t≤27$。
（3）分两种情况讨论：
①向右滑动阶段（$0≤t≤10$）：$d=18t - 90$，令$d=18$，得$18t-90=18$，解得$t=6$，符合$0≤t≤10$；
②返回滑动阶段（$12≤t≤27$）：$d=-12t+234$，令$d=18$，得$-12t+234=18$，解得$t=18$，符合$12≤t≤27$；
停顿阶段（$10＜t＜12$）$d=90≠18$，无符合条件的$t$。
综上$t$的值为6或18。
【答案】
（1）由负到正
（2）$d=-12t+234$（$12≤ t≤27$）
（3）$t=6$或$18$
【知识点】
一次函数的应用，一元一次方程的应用，行程问题
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，解题关键是理清不同阶段$l_1$、$l_2$的表达式，结合已知条件求出轨道长度、返回速度等未知量，再分段讨论求解，注意检验解的取值范围是否符合对应阶段。
【难度系数】
0.65
