8. 小明和小华家在同一个小区，周末两人从小区同时出发去公园. 已知小华匀速步行前往，小明先以 150 m/min 的速度骑自行车前往，中间休息了 20 min 后再以另一速度骑行到达公园. 如图是两人与小区的距离 y m 关于出发时间 x min 的函数图象.
(1) $a=$
2400
，$b=$
36
；
(2) 求小明和小华第二次相遇时，与公园之间的距离；
(3) 小明重新出发后，再骑行多长时间与小华相距 300 m？
答案：(1) 2 400,36 (2) 800 m (3) 1.5 min或6.5 min
解析：
【分析】
(1) $a$是小明前16分钟骑行的路程，用初始速度乘骑行时间即可计算；$b$是小明结束休息的时间，用16min加休息时长20min即可得到。
(2) 先分别求出小华的路程函数解析式、小明休息后骑行的路程函数解析式，联立两个解析式求出第二次相遇的时间，再计算此时的骑行路程，用总路程4000m减去该路程即为到公园的距离。
(3) 两人相距300m分两种情况：小华在小明前方300m、小明在小华前方300m，列绝对值方程求解后减去小明重新出发的时间36min，即可得到所求骑行时长。
【解析】
(1) 小明前16min骑行速度为150m/min，因此$a=150×16=2400$；小明中间休息20min，因此$b=16+20=36$。
(2) 小华匀速步行50min走完全程4000m，速度为$4000÷50=80\ \mathrm{m/min}$，因此小华的路程函数为$y=80x\ (0≤ x≤50)$。
小明休息后（$x≥36$）的骑行速度为$(4000-2400)÷(44-36)=200\ \mathrm{m/min}$，设此时小明的函数解析式为$y=200x+k$，将$(36,2400)$代入得：
$2400=200×36+k$，解得$k=-4800$，即$y=200x-4800\ (36≤ x≤44)$。
第二次相遇时两人路程相等，因此$80x=200x-4800$，解得$x=40$。
此时两人骑行路程为$80×40=3200\ \mathrm{m}$，距离公园的距离为$4000-3200=800\ \mathrm{m}$。
(3) 小明重新出发后，两人相距300m时满足$|(200x-4800)-80x|=300$，化简得$|120x-4800|=300$，分两种情况：
① $120x-4800=300$，解得$x=42.5$，骑行时长为$42.5-36=6.5\ \mathrm{min}$；
② $120x-4800=-300$，解得$x=37.5$，骑行时长为$37.5-36=1.5\ \mathrm{min}$。
【答案】
(1) $\boxed{2400}$，$\boxed{36}$；(2) $\boxed{800\ \mathrm{m}}$；(3) $\boxed{1.5\ \mathrm{min}}$或$\boxed{6.5\ \mathrm{min}}$
【知识点】
一次函数的应用，行程问题，分类讨论思想
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的实际应用，需要准确理解函数图象每一段对应的实际意义，解题时注意分情况讨论两人相距300m的两种情况，同时关注自变量的取值范围。
【难度系数】
0.65
9. 如图，在深50 cm的圆柱形容器底部放入一个长方体铁块，现在以一定的速度向容器内注水，如图为容器顶部离水面的距离 y cm 随时间 t min 的变化图象.
（1）求放入的长方体的高度；
（2）求该容器注满水所用的时间；
（3）若长方体铁块的底面积为6 cm²，求容器的底面积.
答案：(1) 由图象可知,当$t=3$时,水面到达长方体的上表面,长方体的高度为$50-30=20(\mathrm{cm})$
(2) 设$BC$所在直线对应的函数表达式为$y=kt+b$($k,b$为常数,且$k ≠ 0$).将$t=3$,$y=30$和$t=9$,$y=20$代入$y=kt+b$,得$\begin{cases} 3k+b=30,\\ 9k+b=20,\\ \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-\dfrac{5}{3},\\ b=35,\\ \end{cases}$$\therefore y=-\dfrac{5}{3}t+35$.当该容器注满水时,$y=0$,即$-\dfrac{5}{3}t+35=0$,解得$t=21$.该容器注满水所用的时间为21 min
(3) 设圆柱体的底面积为$S\ \mathrm{cm^2}$,每分钟向容器内注水$a\ \mathrm{cm^3}$.根据题意,得$\begin{cases} 50S=6 × 20+21a,\\ 30S=(21-3)a,\\ \end{cases}$解得$\begin{cases} S=8,\\ a=\dfrac{40}{3}.\\ \end{cases}$圆柱体的底面积为$8\ \mathrm{cm^2}$
解析：
【分析】
（1）首先明确图像拐点的实际意义：AB段水面上升速度更快，是因为底部铁块占据了容器的部分容积，当t=3min时到达B点，说明此时水面刚好没过铁块，此时容器顶部离水面30cm，结合容器总深度50cm，用总深度减去该时刻顶部到水面的距离，即可得到铁块高度。
（2）要求注满水的时间，即求y=0时对应的t值。BC段为一次函数图像，先用待定系数法代入B、C两点坐标求出BC段的函数解析式，再令y=0解方程即可得到注满水的时间。
（3）设容器底面积为$S\ \mathrm{cm^2}$，每分钟注水量为$a\ \mathrm{cm^3}$，抓住两个等量关系：①容器总容积=铁块体积+总注水体积；②水面没过铁块后，容器上方30cm的容积=后续注水的总体积，列二元一次方程组求解即可得到容器底面积。
【解析】
（1）由图像可知，$t=3\ \mathrm{min}$时水面刚好到达长方体上表面，此时容器顶部离水面30cm，容器总深度为50cm，因此长方体的高度为：
$50-30=20(\mathrm{cm})$
（2）设BC所在直线的函数表达式为$y=kt+b$（$k,b$为常数，且$k\ne0$），将$t=3,y=30$和$t=9,y=20$代入得：
$\begin{cases} 3k+b=30\\ 9k+b=20 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-\dfrac{5}{3}\\ b=35 \end{cases}$
因此BC段函数解析式为$y=-\dfrac{5}{3}t+35$。
容器注满水时$y=0$，代入解析式得：
$-\dfrac{5}{3}t+35=0$
解得$t=21$，即注满水所用时间为21 min。
（3）设圆柱形容器的底面积为$S\ \mathrm{cm^2}$，每分钟向容器内注水$a\ \mathrm{cm^3}$，根据题意列方程组：
$\begin{cases} 50S=6×20+21a\\ 30S=(21-3)a \end{cases}$
解得$\begin{cases} S=8\\ a=\dfrac{40}{3} \end{cases}$
即容器的底面积为$8\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
（1）$\boxed{20\ \mathrm{cm}}$；（2）$\boxed{21\ \mathrm{min}}$；（3）$\boxed{8\ \mathrm{cm^2}}$
【知识点】
一次函数的应用，二元一次方程组的应用，柱体体积计算
【点评】
本题结合实际注水场景和一次函数图像，考查学生提取图像信息、运用函数和方程解决实际问题的能力，解题的关键是理解图像拐点的实际意义，抓住注水速度不变的核心等量关系。
【难度系数】
0.6
