17. 如图，在$△ ABE$中，$∠ ABE=90°$，$∠ E=15°$，$AE$的垂直平分线交$BE$于点$C$，连接$AC$，取$AC$的中点$D$. 判断$△ ABD$的形状，并说明理由.
答案：17. $△ ABD$是等边三角形.证明:$\because AE$的垂直平分线交$BE$于点$C$,$\therefore CA=CE$. $\therefore ∠ CAE=∠ E=15°$. $\therefore ∠ ACB=∠ CAE+∠ E=30°$. $\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=60°$.$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$D$为$AC$的中点,$\therefore DA=DB$. $\therefore △ ABD$是等边三角形
解析：
【分析】
解题时首先从已知条件“AE的垂直平分线交BE于点C”入手，根据线段垂直平分线的性质可得CA=CE，进而推出△ACE是等腰三角形，得到对应底角相等，再结合三角形外角的性质算出∠ACB的度数；接着在Rt△ABC中利用直角三角形两锐角互余求出∠BAC的度数；最后根据“D是AC中点”这一条件，结合直角三角形斜边中线的性质得到AD=BD，结合∠BAC=60°即可判断△ABD的形状。
【解析】
证明：
∵ AE的垂直平分线交BE于点C，
∴ CA=CE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴ ∠CAE=∠E=15°（等边对等角），
∴ ∠ACB=∠CAE+∠E=15°+15°=30°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
∵ 在Rt△ABC中，∠ABE=90°，∠ACB=30°，
∴ ∠BAC=90°-30°=60°（直角三角形两锐角互余）。
又
∵ D为AC的中点，
∴ DA=DB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴ △ABD是有一个内角为60°的等腰三角形，即△ABD是等边三角形。
【答案】
△ABD是等边三角形。
【知识点】
1. 垂直平分线性质
2. 直角三角形性质
3. 等边三角形判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合了多个几何基础性质定理，解题关键是梳理条件间的关联，逐步推导角和边的关系即可得出结论。
【难度系数】
0.7
18. 如图，D是等边三角形ABC的边AC上的一个定点，P，Q都是边AB上的动点（点P在点Q的上方），且$PQ=AD$. 求证：$CQ＞PD$.
答案：18. 在$△ APD$中,$AD+AP＞PD$,$\because PQ=AD$,$\therefore PQ+AP＞PD$ 即$AQ＞PD$.$\because$ 点$Q$在$△ ABC$的边上,$\therefore ∠ ACQ＜60°$.$\because ∠ A=60°$,$\therefore ∠ A＞∠ ACQ$. $\therefore CQ＞AQ$. $\therefore CQ＞PD$
解析：
【分析】
要证明$CQ＞PD$，可通过引入中间量的方法转化求证：第一步，先利用三角形三边关系得到$PD$和$AQ$的大小关系，已知$PQ=AD$，观察$△ APD$的三边，将$AD$替换为$PQ$即可得到$AQ$与$PD$的大小；第二步，再利用等边三角形的性质和三角形中大角对大边的规律，证明$CQ＞AQ$；最后通过不等量的传递即可得到要证的结论。
【解析】
1. 在$△ APD$中，根据三角形两边之和大于第三边的性质，可得：
$AD+AP＞PD$
已知$PQ=AD$，代入上式得：
$PQ+AP＞PD$
又$PQ+AP=AQ$，因此$\boldsymbol{AQ＞PD}$。
2. 因为$△ ABC$是等边三角形，所以$∠ A=∠ ACB=60°$。
点$Q$在$AB$边上，因此$∠ ACQ＜∠ ACB=60°$，可得$∠ A＞∠ ACQ$。
在$△ AQC$中，根据同一三角形内大角对大边的性质，可得$\boldsymbol{CQ＞AQ}$。
3. 结合上述两个结论，由不等量的传递性可得：$CQ＞AQ＞PD$，即$CQ＞PD$。
【答案】
$CQ＞PD$
【知识点】
三角形三边关系；等边三角形的性质；三角形边角关系
【点评】
本题是典型的几何不等式证明题，解题核心是找到中间量$AQ$，将待证的不等关系拆分为两段分别证明，再通过不等传递得到结果，考查了对三角形基础性质的灵活运用和转化思维。
【难度系数】
0.6
19. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，AX⊥AC，垂足为A，点P和点Q分别在线段AC和射线AX上运动，且AB=PQ，当△ABC与△APQ全等时，请说明点P的位置。
答案：19. $\because AX⊥ AC$,$\therefore ∠ C=∠ QAP=90°$.$\therefore$ 点$C$与点$A$是对应点. $\therefore$ 当$△ CAB≌△ APQ$时,则$AP=CA=10$,即$P$,$C$两点重合. $\therefore$ 当$△ CAB≌△ AQP$时,则$AP=CB=5$,即点$P$为$AC$中点.综上,当$△ ABC≌△ APQ$时,点$P$与点$C$重合或为$AC$中点
解析：
【分析】
本题是直角三角形全等的应用类题目，首先可确定△ABC和△APQ均为直角三角形，且已知斜边AB=PQ，由于题目未明确两个三角形的对应关系，因此需要分类讨论两种对应情况：①AP与AC为对应边；②AP与BC为对应边，分别计算AP的长度即可确定点P的位置。
【解析】
解：
∵AX⊥AC，∠C=90°，
∴∠C=∠QAP=90°，即△ABC和△APQ均为直角三角形。
又
∵AB=PQ，分两种全等情况讨论：
1. 当$△ CAB≌△ APQ$时，根据全等三角形对应边相等，可得$AP=CA=10$，
已知AC长为10，因此此时点P与点C重合；
2. 当$△ CAB≌△ AQP$时，根据全等三角形对应边相等，可得$AP=CB=5$，
已知AC长为10，因此此时$AP=\frac{1}{2}AC$，即点P为AC的中点。
综上即可得到点P的位置。
【答案】
当△ABC与△APQ全等时，点P与点C重合或为AC中点
【知识点】
全等三角形的性质，直角三角形全等的判定，分类讨论思想
【点评】
本题是全等三角形判定的常见题型，解题核心是明确全等对应关系不唯一时需分类讨论，避免因漏解导致错误，能有效考查对全等性质的理解和思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
